Théorème d'Euler (triangle)

Théorème d'Euler (triangle)

Théorème

Le théorème suivant relatif au triangle quelconque est attribué à Leonhard Euler.

  • La distance entre les centres des cercles inscrit et circonscrit étant notée d,
  • Les rayons des cercles inscrit et circonscrit étant notés respectivement r et R
On a
d^2=R (R-2r) \,


Il résulte en particulier de ce théorème que l'inégalité suivante est également toujours satisfaite :

R \ge 2r.


Démonstration

Théorème d'Euler.jpg

Soit ABC le triangle, omega Ω le centre du cercle circonscrit, et I celui du centre du cercle inscrit.

La droite AI coupe le cercle circonscrit en L. Soit M le point diamétralement opposé à L sur ce cercle.

Soit D le pied de la perpendiculaire menée de I sur AB. C'est un point de tangence du cercle inscrit, en sorte qu'on a ID = r.

Les angles LAB et LMB sont égaux, puisqu'ils soutiennent le même arc capable. Les triangles IAD et LBM sont donc semblables puisqu'ils ont deux angles égaux.

On en déduit : \overline{ID} / \overline{LB} = \overline{AI} / \overline{ML},
d'où \overline{ML} \cdot \overline{ID} = \overline{AI} \cdot \overline{LB},
et par conséquent : 2 R r = \overline{AI} \cdot \overline{LB}.

Le triangle BIL est isocèle, et par conséquent BL = BI, et : 2 R r = \overline{AI} \cdot \overline{LI}.

Soient maintenant P et Q les points d'intersection de IΩ avec le cercle circonscrit.

En exprimant de deux manières différentes la puissance du point I par rapport au cercle circonscrit, on obtient :
\overline{PI} \cdot \overline{QI} = \overline{AI} \cdot \overline{LI} = 2 R r.

Par conséquent : (R+d) \cdot (R-d) = 2 R r


Soit encore: R^2 - d^2 = 2 R r \,

et :d^2 = R^2 - 2 R r = R (R-2r)\,

Ce qu'il fallait démontrer.



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Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Théorème d'Euler (triangle) de Wikipédia en français (auteurs)

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