Relation de Cauchy

Relation de Cauchy

On appelle relations de Cauchy un ensemble de six équations qui relient entre elles les constantes élastiques d'un solide[1],[2]. Ces relations furent établies au début du XIXe siècle au cours des développements de modèles microscopiques de l'élasticité. Elles découlent des hypothèses suivantes :

  • Tous les atomes sont situés sur des centres de symétrie du cristal.
  • Les forces agissant entre les atomes sont des forces centrales.
  • Les forces peuvent être correctement décrites par un potentiel harmonique.

Dans la plupart des cas, ces hypothèses ne sont pas réalisées, et les relations de Cauchy ne sont pas vérifiées. C'est précisément de l'étude expérimentale de leurs violations que peuvent être tirées des informations sur les forces agissant entre les atomes du solide.

Suivant la loi de Hooke, le tenseur des constantes élastiques est donné à partir du tenseur des déformations εkl et du tenseur des contraintes σij par (avec la convention de sommation d'Einstein)

\sigma_{ij} = c_{ijkl}\,\varepsilon_{kl}.

C'est un tenseur d'ordre 4, avec 34 = 81 coefficients. Les tenseurs εij et σkl étant symétriques, ce tenseur vérifie les relations cijkl = cjikl = cijlk, ce qui réduit le nombre de coefficients indépendant à 21. Les relations de Cauchy correspondent à des propriétés de symétries supplémentaires du tenseur. Elles peuvent s'écrire cijkl = cikjl, ce qui donne 6 relations de plus, et réduit le nombre de coefficients indépendants à 15.

Pendant plusieurs dizaines années, les débats sur les théories de l'élasticité opposèrent les tenants d'une rari-constant theory qui tient compte des relations de Cauchy, retenant ainsi 15 coefficients seulement, et ceux d'une multi-constant theory qui les ignore[2].

Notes et références

  1. ↑ Définition des relations de Cauchy
  2. ↑ a et b (en) « The Cauchy Relations in Linear Elasticity Theory », dans Journal of Elasticity, vol. 66, 2002, p. 185-192 [lien DOI] . Texte en accès libre sur arXiv : cond-mat/0206175.

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Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Relation de Cauchy de Wikipédia en français (auteurs)

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