- R0-matrice
-
En mathématiques, une
-matrice est une matrice carrée réelle apportant des propriétés particulières aux problèmes de complémentarité linéaire. Ces propriétés, difficilement exprimables en quelques mots, sont décrites dans la définition donnée ci-dessous.
Sommaire
Définitions
Les propriétés équivalentes pouvant servir de définition aux
-matrices requièrent le rappel de quelques notions.
- Pour un vecteur
, la notation
signifie que toutes les composantes vi du vecteur sont positives. Étant donnés une matrice réelle carrée
et un vecteur
, un problème de complémentarité linéaire consiste à trouver un vecteur
tel que
,
et
, ce que l'on écrit de manière abrégée comme suit :
- Une fonction définie sur
à valeurs réelles est dite coercive si elle a ses ensembles de sous-niveau bornés, ce qui revient à dire qu'elle tend vers l'infini si
.
On peut à présent donner la définition d'une
-matrice.
-matrice — On dit qu'une matrice carrée réelle
est une
-matrice si l'une des propriétés équivalentes suivantes est vérifiée :
- l'unique solution du problème CL(M,0) est la solution nulle,
- quel que soit
, la fonction
est coercive,
- la fonction
est coercive.
On note
l'ensemble des
-matrices d'ordre quelconque. On appelle
-matricité la propriété d'une matrice d'appartenir à
Le lien entre le problème CL(M,0) et la fonction
vient du fait que x est solution de CL(M,0) si, et seulement si, min(x,Mx) = 0 (l'opérateur min agit composante par composante).
Propriété
Lien avec la copositivité
Une covaleur propre ou valeur propre de Pareto
d'une matrice réelle symétrique
est une valeur critique du problème d'optimisation
c'est-à-dire la valeur du critère
en un point stationnaire de ce problème, ce qui revient à dire que le problème de complémentarité linéaire ci-dessous à une solution x non nulle :
D'après la définition 1 de la
-matricité, on voit que, pour une matrice symétrique, cette notion revient à dire que la matrice n'a pas de covaleur propre nulle. Il peut être utile de rapprocher cette définition de celle des valeurs propres d'une matrice symétrique, lesquelles peuvent être obtenues comme valeurs critiques du quotient de Rayleigh, sans la contrainte de positivité utilisée ici.
Annexes
Article connexe
Bibliographie
- (en) R. W. Cottle, J.-S. Pang, R. E. Stone (2009). The linear complementarity problem. Classics in Applied Mathematics 60. SIAM, Philadelphia, PA, USA.
- (en) F. Facchinei, J.-S. Pang (2003). Finite-Dimentional Variational Inequalities and Complementarity Problems (2 volumes). Springer Series in Operations Research. Springer-Verlag, New York.
- Pour un vecteur
Wikimedia Foundation. 2010.