Polynôme réciproque

Polynôme réciproque

En mathématiques, le polynôme réciproque d'un polynôme à coefficients complexes

P(X)=a_0+a_1X+a_2X^2+\ldots+a_nX^n

est le polynôme P* défini par :

P^*(X)=\overline a_n+\overline a_{n-1}X+\ldots+\overline a_0X^n~,

où \overline a désigne le conjugué de a. Pour tout nombre complexe z non nul, on a donc :

P^*(z)=z^n\overline{P(\bar z^{-1})}~.

Un polynôme est dit réciproque lorsqu'il est égal à son polynôme réciproque.

Si les coefficients ai sont réels, cette définition équivaut à ai = an−i. Dans ce cas, P est aussi appelé un polynôme palindromique (en).

Le polynôme minimal sur {}^\Q d'un nombre algébrique de module 1 est égal ou opposé à son polynôme réciproque.

Démonstration

Soient β un nombre algébrique de module 1 et

P(X)=a_0+a_1X+\ldots+a_{n-1}X^{n-1}+X^n

son polynôme minimal sur {}^\Q. Son polynôme réciproque,

P^*(X)=1+a_{n-1}X+\ldots+a_1X^{n-1}+a_0X^n,

admet β pour racine puisque

P^*(\beta)=\beta^nP(1/\beta)=\beta^nP(\overline\beta)=\beta^n\overline{P(\beta)}=\beta^n.0=0.

Par conséquent, il existe un rationnel λ tel que P * = λP. Dans cette égalité, le coefficient dominant et le terme constant sont : a0 = λ et 1 = λa0. On en déduit que

P^*=a_0P\quad\text{et}\quad a_0=\pm 1.

Une conséquence est que les polynômes cyclotomiques Φn sont palindromiques pour n > 1 ; ceci est utilisé dans le crible sur les corps de nombres particuliers pour factoriser des nombres de la forme x11 ± 1, x13 ± 1, x15 ± 1 et x21 ± 1 en profitant des facteurs polynomiaux de degrés respectifs 5, 6, 4 et 6 - remarquons que l'indicatrice d'Euler des exposants vaut 10, 12, 8 et 12.

Référence


Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Polynôme réciproque de Wikipédia en français (auteurs)

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