Plan affine (structure d'incidence)

Dans une approche axiomatique de la géométrie, il est possible de définir le plan comme une structure d'incidence, c'est-à-dire la donnée d'objets primitifs, les points et les droites, et d'une relation, dite d'incidence, entre point et droite (qui est la relation d'appartenance du point à la droite). Un plan affine est alors une telle structure vérifiant les axiomes d'incidence :

• Deux points A et B sont incidents à une unique droite (notée (AB)), et toute droite possède au moins deux points distincts ;
• Il existe au moins trois points non incidents à une même droite ;
• Pour toute droite d et tout point A non incident à d, il existe une unique droite d' incidente à A telle qu'aucun point ne soit incident aux deux droites d et d'.

Il est également possible de définir un plan affine comme espace affine de dimension 2 sur un corps. Tout plan affine sur un corps, comme le plan affine réel usuel, est un plan affine en tant que structure d'incidence, au sens où ses points et ses droites d'un plan affine sur un corps, et la relation d'appartenance d'un point à une droite, satisfont les axiomes d'incidence. Mais ces deux définitions ne coïncident pas, un axiome supplémentaire, l'axiome de Desargues, est nécessaire pour cela (voir plan affine arguésien)^[1]. Les plans affines, satisfaisant donc les axiomes d'incidence, mais ne satisfaisant pas l'axiome de Desargues, sont dits non arguésiens.

Parallélisme

Dans cette approche, une droite d est dite parallèle à d' si ces deux droites sont confondues (égales) ou bien qu'il n'existe aucun point incident aux deux droites. Les droites d et d' s'intersectent en A si le point A est incident à d et à d'. L'unicité d'une droite incidente à deux points distincts implique que deux droites non parallèles s'intersectent en un unique point. On dispose de la dichotomie suivante :

• ou bien deux droites sont parallèles ;
• ou bien elles s'intersectent en un unique point.

Deux droites parallèles qui s'intersectent sont nécessairement confondues. Dans ce cas, elles ont au moins deux points incidents en commun.

Le troisième axiome se reformule par l'existence et l'unicité d'une parallèle à une droite donnée passant par un point donné.

Le parallélisme est une relation d'équivalence :

• par définition, toute droite est parallèle à elle-même ;
• si d est parallèle à d', alors il est facile de constater que d' est parallèle à d ;
• la transitivité se démontre par un raisonnement par l'absurde.

Supposons données trois droites d, d' et d'' telles que d soit parallèle à d' et que d' soit parallèle à d'', mais que d et d'' ne soient pas parallèles. Les trois droites peuvent être supposées deux à deux non confondues. Dans ce cas, étant non parallèles, les droites d et d'' s'intersectent en un unique point A. Comme le parallélisme est une relation symétrique, chacune des droites d et d'' est parallèle à d. Par unicité de la parallèle à une droite passant par un point, ces droites sont confondues, ce qui est contraire à l'hypothèse.

Une représentation possible du plus petit plan affine : 4 points et 6 droites parallèles 2 à 2.

Plus petit plan affine

Un plan affine défini par les seuls axiomes d'incidence possède au moins quatre points distincts trois à trois non alignés.

En effet, pour commencer, il existe par le deuxième axiome au moins trois points distincts ''A'',''B'',''C'' non incidents à une même droite. En particulier, C n'est pas incident à la droite (AB). Par le troisième axiome, il existe une droite d incidente à C parallèle à (AB). À nouveau par le premier axiome, il existe un point D distinct de C qui soit incident à d. Comme d et (AB) sont parallèles et non confondues, elles ne s'intersectent pas. Le point D est nécessairement distinct de A et de B, et mieux encore n'est pas non plus incident à (AB). Il s'ensuit directement que les points A,B,C,D sont deux à deux distincts et trois à trois non alignés.

Le plus petit plan affine P₀ est constitué de :

• quatre points distincts A, B, C et D ;
• et six droites, une et une seule incidente à deux quelconques de ces quatre points.

C'est également le plan affine sur le corps fini à 2 éléments. Constitué de 4 points, c'est un parallélogramme car ses côtés sont parallèles deux à deux, mais ses deux diagonales sont aussi parallèles (il n'y a pas de milieu dans une géométrie sur le corps à 2 éléments).

Voir aussi

• Plan affine arguésien
• Axiomes de Hilbert

Références

Bibliographie

• Emil Artin, Algèbre géométrique, Calmann-Lévy, traduction de Geometric algebra New York, Interscience Publishers, Inc., 1957, chap.II.
• Jacqueline Lelong-Ferrand, Fondements de la géométrie, PUF, 1985 (ISBN 2-13-038851-5) .

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