P0-matrice

P0-matrice

En mathématiques, une P0-matrice est une matrice carrée réelle dont les mineurs principaux sont positifs. Ces matrices interviennent dans l'étude des problèmes de complémentarité linéaire. Une notion voisine est celle des P-matrices.

Sommaire

Définition

On note ci-dessous MI,J la sous-matrice de M formée de ses éléments avec indices de ligne dans I et indices de colonne dans J.

P0-matrice — On dit qu'une matrice carrée réelle M\in\R^{n\times n} est une P0-matrice si l'une des propriétés équivalentes suivantes est vérifiée :

  1. tous les mineurs principaux de M sont positifs : pour tout I\subset\{1,\ldots,n\} non vide, \det M_{I,I}\geqslant 0,
  2. pour tout vecteur x\in\R^n non nul, on peut trouver un indice i tel que x_i\ne0 et x_i(Mx)_i\geqslant 0,
  3. pour toute matrice diagonale définie positive D, M + D est inversible.

On note \mathbf{P_0} l'ensemble des P0-matrices d'ordre quelconque. On appelle P0-matricité la propriété d'une matrice d'appartenir à \mathbf{P_0}.

Le nom de ces matrices a été proposé par Fiedler et Pták (1966[1]), qui ont aussi montré l'équivalence entre les définitions 1 et 2. L'expression 3 de la P0-matricité est due à Chen et Harker (1993[2]).

Propriétés immédiates

De la définition 1, on déduit que

Complexité

Vérifier qu'une matrice donnée dans \mathbb{Q}^{n\times n} est une P0-matrice est un problème co-NP-complet[3].

Annexes

Note

  1. ↑ (en) M. Fiedler, V. Pták (1966). Some generalizations of positive definiteness and monotonicity. Numerische Mathematik, 9, 163–172. doi
  2. ↑ (en) B. Chen, P.T. Harker (1993). A non-interior continuation method for linear complementarity problems. SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications, 14, 1168–1190. doi
  3. ↑ (en) P. Tseng (2000). Co-NP-completeness of some matrix classification problems. Mathematical Programming, 88, 183–192.

Articles connexes

Ouvrages généraux

  • (en) R. W. Cottle, J.-S. Pang, R. E. Stone (2009). The linear complementarity problem. Classics in Applied Mathematics 60. SIAM, Philadelphia, PA, USA.
  • (en) R. A. Horn, Ch. R. Jonhson (1991). Topics in Matrix Analysis. Cambridge University Press, New York, NY, USA.

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article P0-matrice de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Поможем сделать НИР

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Matrice (algèbre) — Matrice (mathématiques) Pour les articles homonymes, voir Matrice. En mathématiques, les matrices servent à interpréter en termes calculatoire …   Wikipédia en Français

  • Matrice (mathematiques) — Matrice (mathématiques) Pour les articles homonymes, voir Matrice. En mathématiques, les matrices servent à interpréter en termes calculatoire …   Wikipédia en Français

  • Matrice carrée — Matrice (mathématiques) Pour les articles homonymes, voir Matrice. En mathématiques, les matrices servent à interpréter en termes calculatoire …   Wikipédia en Français

  • Matrice Diagonalisable — En algèbre linéaire, une matrice carrée M d ordre n ( ) à coefficients dans un corps commutatif K, est dite diagonalisable si elle est semblable à une matrice diagonale, c est à dire s il existe une matrice inversible P et une matrice diagonale D …   Wikipédia en Français

  • matrice — [ matris ] n. f. • 1265; lat. matrix 1 ♦ Vieilli Utérus. Inflammation de la matrice. ⇒ métrite. Fig. « La terre, inépuisable et suprême matrice » (Hugo). 2 ♦ (1556 ) Techn. Moule qui, après avoir reçu une empreinte particulière en creux et en… …   Encyclopédie Universelle

  • Matrice Définie Positive — En algèbre linéaire, la notion de matrice définie positive est analogue à celle de nombre réel strictement positif. On introduit tout d abord les notations suivantes ; si a est une matrice à éléments réels ou complexes : aT désigne la… …   Wikipédia en Français

  • Matrice Inversible — En mathématiques et plus particulièrement en algèbre linéaire, une matrice carrée A d ordre n est dite inversible ou régulière ou encore non singulière, s il existe une matrice B d ordre n telle que AB = BA = In, ( AB = In suffit d aprés le… …   Wikipédia en Français

  • Matrice definie positive — Matrice définie positive En algèbre linéaire, la notion de matrice définie positive est analogue à celle de nombre réel strictement positif. On introduit tout d abord les notations suivantes ; si a est une matrice à éléments réels ou… …   Wikipédia en Français

  • Matrice inverse — Matrice inversible En mathématiques et plus particulièrement en algèbre linéaire, une matrice carrée A d ordre n est dite inversible ou régulière ou encore non singulière, s il existe une matrice B d ordre n telle que AB = BA = In, ( AB = In… …   Wikipédia en Français

  • Matrice non singulière — Matrice inversible En mathématiques et plus particulièrement en algèbre linéaire, une matrice carrée A d ordre n est dite inversible ou régulière ou encore non singulière, s il existe une matrice B d ordre n telle que AB = BA = In, ( AB = In… …   Wikipédia en Français

  • Matrice par blocs — Matrice par bloc En théorie des matrices, une matrice par bloc ou matrice partitionnée est une matrice pouvant être divisée en matrices rectangulaires de dimensions inférieures appelées blocs. On peut dire également que la matrice est écrite en… …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”