P0-matrice

P0-matrice

En mathématiques, une P0-matrice est une matrice carrée réelle dont les mineurs principaux sont positifs. Ces matrices interviennent dans l'étude des problèmes de complémentarité linéaire. Une notion voisine est celle des P-matrices.

Sommaire

Définition

On note ci-dessous MI,J la sous-matrice de M formée de ses éléments avec indices de ligne dans I et indices de colonne dans J.

P0-matrice — On dit qu'une matrice carrée réelle M\in\R^{n\times n} est une P0-matrice si l'une des propriétés équivalentes suivantes est vérifiée :

  1. tous les mineurs principaux de M sont positifs : pour tout I\subset\{1,\ldots,n\} non vide, \det M_{I,I}\geqslant 0,
  2. pour tout vecteur x\in\R^n non nul, on peut trouver un indice i tel que x_i\ne0 et x_i(Mx)_i\geqslant 0,
  3. pour toute matrice diagonale définie positive D, M + D est inversible.

On note \mathbf{P_0} l'ensemble des P0-matrices d'ordre quelconque. On appelle P0-matricité la propriété d'une matrice d'appartenir à \mathbf{P_0}.

Le nom de ces matrices a été proposé par Fiedler et Pták (1966[1]), qui ont aussi montré l'équivalence entre les définitions 1 et 2. L'expression 3 de la P0-matricité est due à Chen et Harker (1993[2]).

Propriétés immédiates

De la définition 1, on déduit que

Complexité

Vérifier qu'une matrice donnée dans \mathbb{Q}^{n\times n} est une P0-matrice est un problème co-NP-complet[3].

Annexes

Note

  1. ↑ (en) M. Fiedler, V. Pták (1966). Some generalizations of positive definiteness and monotonicity. Numerische Mathematik, 9, 163–172. doi
  2. ↑ (en) B. Chen, P.T. Harker (1993). A non-interior continuation method for linear complementarity problems. SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications, 14, 1168–1190. doi
  3. ↑ (en) P. Tseng (2000). Co-NP-completeness of some matrix classification problems. Mathematical Programming, 88, 183–192.

Articles connexes

Ouvrages généraux

  • (en) R. W. Cottle, J.-S. Pang, R. E. Stone (2009). The linear complementarity problem. Classics in Applied Mathematics 60. SIAM, Philadelphia, PA, USA.
  • (en) R. A. Horn, Ch. R. Jonhson (1991). Topics in Matrix Analysis. Cambridge University Press, New York, NY, USA.

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article P0-matrice de Wikipédia en français (auteurs)

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