- Graphe bannière
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Graphe bannière 
Représentation du graphe bannière.Nombre de sommets 5 Nombre d'arêtes 5 Distribution des degrés 1 (1 sommet)
2 (3 sommets)
3 (1 sommet)Rayon 2 Diamètre 3 Maille 4 Automorphismes 2 (Z/2Z) Nombre chromatique 2 Indice chromatique 3 Propriétés Planaire modifier 
Le graphe bannière est, en théorie des graphes, un graphe possédant 5 sommets et 5 arêtes.
Le nom de graphe bannière est employé au sein de la classification de l'ISGCI (Information System on Graph Class Inclusions)[1]. Le même terme découlant de la ressemblance du graphe avec un drapeau est également employé lors de l'étude des graphes sans-bannière[2].
Sommaire
Propriétés
Propriétés générales
Le diamètre du graphe bannière, l'excentricité maximale de ses sommets, est 3, son rayon, l'excentricité minimale de ses sommets, est 2 et sa maille, la longueur de son plus court cycle, est 4. Il s'agit d'un graphe 1-sommet-connexe et d'un graphe 1-arête-connexe, c'est-à-dire qu'il est connexe et que pour le rendre déconnecté suffit de le priver d'un sommet ou d'une arête.
Coloriage
Le nombre chromatique du graphe bannière est 2. C'est-à-dire qu'il est possible de le colorer avec 2 couleurs de telle façon que deux sommets reliés par une arête soient toujours de couleurs différentes. Ce nombre est minimal.
L'indice chromatique du graphe bannière est 3. Il existe donc une 3-coloration des arêtes du graphe tels que deux arêtes incidentes à un même sommet soient toujours de couleurs différentes. Ce nombre est minimal.
Il est possible de compter les colorations distinctes du graphe bannière. Cela donne une fonction dépendant du nombre de couleurs autorisé. C'est une fonction polynomiale et le polynôme qui lui est associé est qualifiée de polynôme chromatique. Ce polynôme de degré 5 admet pour racines tous les entiers positifs ou nuls strictement inférieurs à 2. Il est égal à : (x − 1)2x(x2 − 3x + 3).
Propriétés algébriques
Le groupe d'automorphismes du graphe bannière est un groupe abélien d'ordre 2 : le groupe cyclique Z/2Z.
Le polynôme caractéristique du graphe bannière est : − x(x4 − 5x2 + 2).
Voir aussi
Liens internes
Liens externes
- (en) Eric W. Weisstein, Banner Graph (MathWorld)
Références
- (en) ISGCI (Information System on Graph Class Inclusions), List of small graphs (http://wwwteo.informatik.uni-rostock.de/isgci/smallgraphs.html).
- M. Gerber, A. Hertz, V. Lozin, Stable sets in two subclasses of banner-free graphs, Discrete Appl. Math. (http://rutcor.rutgers.edu/pub/rrr/reports2001/46.ps).
Catégorie :- Graphe remarquable
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