∪

Union (mathématiques)

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Définition

L'union des ensembles A et B

Dans la théorie des ensembles, l'union ou réunion de deux ensembles A et B est l'ensemble qui contient tous les éléments qui appartiennent à A ou appartiennent à B. On note l'union de A et B A ∪ B. En notation symbolique, c'est :

$\forall x,x\in A \cup B \Leftrightarrow ((x \in A) \lor (x \in B))$

Par exemple l'union des ensembles A={1,2,3} et B={2,3,4} est l'ensemble {1,2,3,4}.

En algèbre booléenne, l'union est associée à l'opérateur logique ou inclusif.

On généralise ce concept à une famille d'ensembles $(A_i)_{i\in I}$ . La réunion ou union des ensembles membres de cette famille est l'ensemble des éléments $x$ pour lesquels il existe un $i\in I$ tel que $x\in A_i$ . On le note alors $\bigcup_{i\in I}A_i$ .

Propriétés algébriques

L'union est associative, i.e. pour des ensembles A, B et C quelconques, on a :

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)

L'union est commutative, i.e. pour des ensembles A et B quelconques, on a :

A ∪ B = B ∪ A

L'intersection est distributive sur l'union, i.e. pour des ensembles A, B et C quelconques, on a :

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

Opérations binaires

Numériques	En ensemble ordonné	Structurelles	Autres

Élémentaires $+$ Addition $-$ Soustraction $\times$ Multiplication $\div$ Division $\hat{}$ Puissance Arithmétiques $div$ Quotient euclidien $\mod$ Reste euclidien $pgcd$ PGCD $ppcm$ PPCM Combinatoires $()$ Coefficient binomial $A$ Arrangement	Ensembles de parties $\cup$ Union $\backslash$ Complémentation $\cap$ Intersection $Δ$ Différence symétrique Ordre total $min$ Minimum $max$ Maximum Treillis $\wedge$ Borne inférieure $\vee$ Borne supérieure	Ensembles $\times$ Produit cartésien $\dot{\cup}$ Somme disjointe $\hat{}$ Puissance ensembliste Groupes $\oplus$ Somme directe $\ast$ Produit libre $\wr$ Produit en couronne Modules $\otimes$ Produit tensoriel $Hom$ Homomorphisme $Tor$ Torsion $Ext$ Extension Arbres $\vee$ Enracinement Variétés connexes $\#$ Somme connexe Espaces pointés $\vee$ Bouquet $\wedge$ Smash produit $\ast$ Joint	Fonctionnelles $\circ$ Composition de fonctions $\ast$ Produit de convolution Vectorielles $\cdot$ Produit scalaire $\wedge$ Produit vectoriel Algébriques $[,]$ Crochet de Lie ${,}$ Crochet de Poisson $\wedge$ Produit extérieur Homologiques $\smile$ Cup produit $\cdot$ Produit d'intersection Séquentielles $+$ Concaténation