Établissement de l'équation de conduction de la chaleur

Équation de la chaleur

En mathématiques et en physique théorique, l'équation de la chaleur est une équation aux dérivées partielles parabolique, introduite initialement en 1811 par Fourier pour décrire le phénomène physique de conduction thermique.

Sommaire

1 Équation de la chaleur
2 Établissement de l'équation de la chaleur
3 Autres phénomènes physiques
4 Généralisations
5 Articles liés
6 Bibliographie
7 Notes

Équation de la chaleur

Soit $\Omega \subset \mathbb R^3$ un domaine à bord $\partial \Omega$ . Soit T(x,t) le champ de température sur ce domaine. En l'absence des sources thermiques^[1] dans le domaine, l'équation de la chaleur s'écrit :

$\forall \, x \, \in \, \Omega \, , \quad \frac{\partial T (x,t)}{\partial t} \ = \ D \ \Delta T(x,t) + \frac{P}{\rho C}$

où $Δ$ est l'opérateur Laplacien, D est le cœfficient de diffusivité thermique et P une éventuelle production volumique de chaleur propre. Pour que le problème soit mathématiquement bien posé, il faut en général spécifier :

une condition initiale : $\forall \, x \, \in \, \Omega \, , \quad T (x,0) \ = \ T_0(x)$ ;
une condition aux limites sur le bord du domaine, par exemple :
- Dirichlet : $\forall \, x \, \in \, \partial \Omega \, , \quad T (x,t) \ = \ 0$ ;
- ou Neumann : $\forall \, x \, \in \, \partial \Omega \, , \quad \frac{\partial T (x,t)}{\partial n} \ = \ \vec{n}(x) \cdot \vec{\nabla} T(x,t) \ = \ 0$ , où $\vec{n}(x)$ est le vecteur normal unitaire au point x.

Établissement de l'équation de la chaleur

Il existe plusieurs approches, par exemple le bilan pour un volume de contrôle. On suit ici un raisonnement s'appuyant sur la thermodynamique et la loi de Fourier.

Appliquons le premier principe de la thermodynamique à un volume $τ$ de conducteur contenu à l'intérieur d'une surface $Σ$ entre $t$ et $t + d t$ :

U (t + d t) - U (t) = δ W + δ Q

on considère ici un système isochore par conséquent $δ W = 0$ . De plus,

$U(t) = \iiint_\tau \rho c T(t) \mathrm{d}\tau + f(V)$

où $ρ$ est la masse volumique du matériau (en kg/m³), $c$ la chaleur spécifique massique du matériau (en J/kg.K) et $f (V)$ est une fonction du volume. Alors

$U(t+\mathrm{d}t)-U(t)=\iiint_\tau \rho c (T(t+\mathrm{d}t)-T(t)) \mathrm{d}\tau = \iiint_\tau \rho c \frac{\partial T}{\partial t} \mathrm{d}t \mathrm{d}\tau$

On a aussi, par définition de $\vec{\jmath}_{Q}$ (vecteur densité de flux de chaleur) et de la densité volumique de source de chaleur par unité de temps P (en W/m³) :

(note pour le signe : $\vec{\jmath}_{Q}$ est positif quand le flux est vers l'extérieur, donc la variation de chaleur est alors négative dans le volume)

$\delta Q = - \left(\oint_{\Sigma} \vec\jmath_{Q}\cdot\mathrm{d}\vec{S}\right)\mathrm{d}t+\left(\iiint_\tau P\mathrm{d}\tau\right)\mathrm{d}t$

Avec le théorème de Green-Ostrogradsky on obtient :

$\delta Q = - \left(\iiint_\tau \operatorname{div} \vec\jmath_{Q} \mathrm{d}\tau\right)\mathrm{d}t+\left(\iiint_\tau P\mathrm{d}\tau\right)\mathrm{d}t$

donc :

$\iiint_\tau \rho c \frac{\partial T}{\partial t} \mathrm{d}t \mathrm{d}\tau = - \iiint_\tau \operatorname{div}\vec\jmath_{Q} \mathrm{d}\tau \mathrm{d}t+\iiint_\tau P\mathrm{d}\tau \mathrm{d}t$

or ceci est valable pour tout volume $τ$ , donc :

$\operatorname{div} \vec\jmath_{Q} = - \rho c \frac{\partial T}{\partial t} + P$

En utilisant la loi de Fourier :

$\vec\jmath_{Q} = - \lambda \overrightarrow\operatorname{grad}T$

et le fait que :

$\operatorname{div}\left(\overrightarrow\operatorname{grad}\right) = \nabla^2 = \Delta$ (laplacien)

on obtient :

$-\lambda\Delta T= - \rho c\frac{\partial T}{\partial t} + P \Rightarrow \frac{\rho c}{\lambda}\frac{\partial T}{\partial t}-\Delta T=\frac{P}{\lambda}$

ce qui est bien l'équation de la chaleur.

Enfin, en posant $D = \frac{\lambda}{\rho c}$ (coefficient de diffusion).

$\frac{\partial T}{\partial t}=D\Delta T + \frac{P}{\rho c}$

Autres phénomènes physiques

Il est intéressant de remarquer que l'équation de la chaleur, introduite initialement pour décrire la conduction thermique, apparaît également dans d'autres branches de la physique théorique. Elle permet par exemple de décrire :

le phénomène de diffusion ;
certains aspects probabilistes du mouvement brownien ;

Enfin, il existe un lien avec la mécanique quantique non-relativiste : l'équation de la chaleur apparait en effet comme une équation de Schrödinger en temps imaginaire. Loin d'être une simple curiosité, cette propriété autorise des développements intéressants, car il est souvent plus facile mathématiquement de travailler avec l'équation de la chaleur qu'avec l'équation de Schrödinger.

Généralisations

L'équation de la chaleur s'étend naturellement :

dans $\mathbb R^n$ pour n quelconque ;
sur une variété riemannienne de dimension quelconque en introduisant l'opérateur de Laplace-Beltrami, qui généralise le Laplacien.

Bibliographie

Joseph Fourier ; Théorie analytique de la chaleur, Firmin Didot Père et Fils (Paris-1822). Réédition Jacques Gabay (1988), ISBN 2-87647-046-2.
Jean Dhombres & Jean-Bernard Robert ; Fourier, créateur de la physique mathématique, collection « Un savant, une époque », Belin (1998), ISBN 2-7011-1213-3.

Notes

↑ Par exemple, une source radioactive qui serait placée à l'intérieur du domaine, ... Il est possible d'introduire de telles sources d'énergie locales en ajoutant un terme à l'équation ; cf. l'article conduction thermique.

autre démonstration (ENS)

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