- Établissement de l'équation de propagation à partir des équations de Maxwell
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L'équation de propagation d'une onde électromagnétique peut se calculer à partir des équations de Maxwell.
Sommaire
Hypothèses préalables
Supposons que le milieu soit linéaire, homogène et isotrope (L.H.I.). Dans ce cas :
- et
où désigne la perméabilité magnétique et est la permittivité diélectrique.
Supposons également que ces deux coefficients et la densité de charge électrique ρ ne dépendent pas des variables spatiales (ni temporelles).
Formulation des relations
Exprimées à l’aide du champ électrique et du champ magnétique , les équations de Maxwell prennent alors la forme locale suivante :
Équation relative au champ électrique E
Pour éliminer le champ magnétique entre les relations 1 et 3, il s’agit d’appliquer le rotationnel à la première et de dériver la troisième par rapport au temps. A l’aide des hypothèses et grâce au théorème de Schwarz permettant de permuter les opérateurs différentiels spatiaux et temporels, il vient alors
L’identité des opérateurs vectoriels conduit ensuite à la relation
et la relation 4 implique finalement
Équation relative au champ magnétique H
Par un traitement semblable, en appliquant le rotationnel à la relation 3 et en dérivant la première par rapport au temps, il vient
Application à divers milieux
Dans les isolants ou dans le vide
La densité de courant est nulle et la densité de charge est constante. Ainsi :
qui sont deux équations de d'Alembert dont les ondes se propagent à la vitesse v définie par .
Dans le vide (μ = μ0 et ), la vitesse de phase est celle de la lumière puisque .
Le découplage entre champs magnétique et électrique dans ces deux dernières équations n’est qu’apparent : les deux champs restent en effet liés par les équations de Maxwell (relations 1 et 3 ci-dessus).
Solutions
Les équations de d’Alembert possèdent comme solutions des ondes planes harmoniques : partant d’une pulsation ω et d’un vecteur d'onde de norme notée k, la fonction scalaire
permet de définir des champs
qui sont solutions lorsque
Les équations de Maxwell imposent par ailleurs l’orthogonalité des 3 vecteurs :
et le rapport des carrés des normes des champs satisfait
JustificationAprès avoir successivement vérifié
les équations de Maxwell (1 à 4) impliquent respectivement
lorsque d’où l’orthogonalité des 3 vecteurs.
L’égalité relative aux carrés des normes découle de 1 et de
Dans les conducteurs ohmiques
La loi d'Ohm est la relation phénoménologique liant la densité de courant au champ électrique :
σΩ étant la conductivité électrique (qui est l’inverse de la résistivité).
En supposant que la densité de charge reste constante, les équations de propagation s’écrivent alors
Solutions
Ces équations possèdent des solutions qui sont des ondes planes amorties, en particulier des ondes harmoniques dont l’amplitude est exponentiellement décroissante : en effet, l’onde s’atténue au fur et à mesure qu’elle se propage dans le milieu conducteur.
Partant d’une pulsation ω, d’un vecteur d’onde de norme k et un facteur d’amortissement λ, la fonction scalaire
est solution de l’équation aux dérivées partielles à condition de respecter deux relations liant respectivement k et λ à ω.
Comme dans le cas d’un milieu isolant, il existe des choix de champs proportionnels à qui satisfont les équations de Maxwell : ceux-ci respectent encore l’orthogonalité des 3 vecteurs.
Le rapport des carrés des normes des champs satisfait finalement
JustificationAprès avoir successivement vérifié
satisfait l’équation aux dérivées partielles
à condition que
Quelques calculs algébriques permettent de vérifier que les parties réelle et imaginaire de cette contrainte impliquent
où
Ce sont les relations liant k et λ à ω (dont on retrouve le cas d’un isolant lorsque σΩ = 0).
En particulier, à grande vitesse dans un bon conducteur (s > > 1), on peut admettre l’approximation
L’inverse de (dont l’unité est une longueur) indique la profondeur de pénétration de l’onde (qui est atténuée d’un facteur e après avoir parcouru cette distance) et la profondeur diminue comme l’inverse de la racine de la pulsation.
Il reste enfin à trouver des solutions avec des champs constitués de nombres réels, ceci en dépit d’un traitement faisant intervenir des complexes. Par exemple, en choisissant arbitrairement un champ électrique initial réel et un vecteur d’onde orthogonal, définissons le vecteur réel et le déphasage θ satisfaisant l’égalitéEn définissant ensuite les champs
on constate qu’ils respectent:
- l’équation 1 de Maxwell (puisque la relation ci-dessus est prévue à cet effet),
- l’équation 3 de Maxwell à cause des relations liant k et λ à ω,
- les divergences nulles puisque les trois vecteurs sont orthogonaux.
Par la linéarité de ces équations, les parties réelles des champs électriques et magnétiques ainsi définis satisfont l’ensemble des équations de Maxwell. Il subsiste toutefois un déphasage (nul dans le cas des isolants) défini par :
Les éléments précédents permettent de déduire la relation entre les normes des champs complexes et , c'est-à-dire entre les amplitudes de leurs parties réelles respectives, ceci à l’aide deVoir aussi
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