Équation de killing

Équation de Killing

L'équation de Killing est l'équation fondamentale satisfaite par un vecteur de Killing.

Elle stipule qu'un champ de vecteur $ξ$ défini sur une variété riemannienne est un vecteur de Killing ssi la dérivée de Lie de la métrique riemannienne $g$ est nulle :

${\mathcal L}_\xi g = 0 \,$ .

En termes de composantes dans un système de coordonnées donné, cette équation s'écrit :

$D_a \xi_b + D_b \xi_a = 0 \,$ ,

où D représente la dérivée covariante compatible avec la métrique.

Cette équation peut se réécrire en utilisant la forme symétrisée :

$D_{( a} \xi_{b)} = 0\,$ .

Elle peut alors être généralisée à un tenseur d'ordre arbitraire, appelé tenseur de Killing.

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