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Cube (algèbre)

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En algèbre, un cube est la puissance troisième d'un nombre. C'est-à-dire que le cube d'un nombre correspond à la valeur obtenue en multipliant ce nombre par lui-même, puis en multipliant le résultat par le nombre initial. De manière plus générale, tout être mathématique sur lequel il existe une multiplication possède un cube. Ainsi, on parle de cube d'une matrice ou encore d'une fonction.

La fonction cube désigne celle qui, à un nombre positif donnée associe son cube. Cette fonction est impaire, c'est-à-dire que les images d'une valeur et de son opposé sont encore opposées. Les cubes de 4 et de -4 sont respectivement égaux à 64 et -64. Le cube d'un nombre réel positif (resp. négatif) est un nombre positif (resp. négatif) et, comme les nombres entiers ou rationnels sont aussi des nombres réels, cette propriété est encore vérifiée.

Le terme de cube s'est imposé à une époque où la logique de l'algèbre géométrique était omniprésente. Un nombre était toujours positif et correspondait à la longueur d'un segment. Le carré de ce nombre était vu comme le volume d'un cube de coté la longueur initiale.

Exemples :

$2^3 = 8, \quad (-5)^3 = -125, \quad 1^3 = 1, \quad 10^3 = 1\,000$

Définition

Soient $\left(M,\times\right)$ un magma dont la loi de composition interne est associative et notée multiplicativement, et $a$ un élément quelconque de $M$ . On appelle « cube de $a$ » et on note $a 3$ , l'élément de $M$ égal à $a\times a\times a$ . Autrement dit :