- Variété topologique
-
Définition
Soit V un espace topologique séparé à base dénombrable. On dit que V est une variété topologique s'il existe un entier naturel n tel que tout point
admet un voisinage homéomorphe à un ouvert de 
Intérêt de la clause de séparation
L'utilisation des variétés comme espaces de configuration pour la physique rend la clause de séparation naturelle : il est possible de discerner entre deux états distincts du système, même si on applique une petite perturbation à chacun.
Un exemple d'espace localement homéomorphe à la droite réelle, mais qui ne vérifie pas la condition de séparation de Hausdorff, est donné en formant une « droite réelle avec un point double ». Pour cela, on identifie deux droites réelles, sauf en un point : les ensembles R × {a} et R × {b} sont soumis à la relation d'identification
quand 
Dans l'espace quotient, tout voisinage de 0a intersecte tout voisinage de 0b.
Invariance de la dimension
D'après le théorème de l'invariance du domaine, l'entier naturel n tel que V est localement homéomorphe à un ouvert de
est unique ; on l'appelle dimension de la variété topologique V.Certains auteurs généralisent la définition de variété topologique en permettant que la dimension puisse varier d'un point à l'autre, et alors une variété topologique telle que définie plus haut est dite pure. Si la variété topologique est connexe, alors elle est nécessairement pure.
Wikimedia Foundation. 2010.
