Tricercle de Mohr

Tricercle de Mohr

Arbelos

Arbelos diagram with points marked.svg

L'arbelos (ou tricercle de Mohr, du nom du mathématicien danois Georg Mohr) est une figure géométrique plane étudiée, entre autres, par Archimède (-287 - -212, Syracuse). Le terme « arbelos » signifie couteau du savetier.

Sommaire

Construction

Soit un demi-cercle de diamètre BC. Soit A un point quelconque de ce diamètre.

  • Tracer le demi-cercle de diamètre BA intérieur.
  • Tracer le demi-cercle de diamètre AC intérieur.
  • Considérer la surface intérieure obtenue : c'est une lame d'arbelos.

Propriétés

Cette figure possède de nombreuses propriétés dont voici quelques-unes:

Propriété de l'aire : soit AH la demi-corde verticale passant par A. L'aire de l'arbelos est égale à l'aire du cercle de diamètre AH.

Démonstration : il suffit d'appeler b et c les diamètres AB et AC, et h la hauteur AH. Les aires des demi-cercles sont alors respectivement de {\pi \over 8}b^2, {\pi \over 8}c^2, {\pi \over 8}(b + c)^2. Puis, par différence, on obtient l'aire de l'arbelos {\pi \over 4}bc. La dernière étape fait appel aux propriétés du triangle rectangle dans lequel le carré de la hauteur est égal au produit des longueurs découpées sur l'hypoténuse. En d'autres termes : bc = h2. Ce qui nous donne pour l'aire de l'arbelos : {\pi \over 4}h^2 qui est bien l'aire du cercle de diamètre AH

Propriété du rectangle: Le segment BH coupe le demi-cercle BA en D. Le segment CH coupe le demi-cercle AC en E. Alors DHEA est un rectangle

Démonstration : Les triangles BDA, BHC et AEC sont rectangles car inscrits dans des demi-cercles (théorème de Thalès (cercle). Le quadrilatère ADHE possède donc trois angles droits, c'est un rectangle.

Propriété des tangentes : La droite (DE) est une tangente commune aux deux cercles.

Démonstration : La similitude de centre D qui envoie B sur A a pour angle π / 2 et envoie aussi A sur H (les triangles DBA et DAH sont semblables). Elle envoie donc le milieu I de [AB] sur le milieu O de [AH] et l'angle IDO est droit. La droite (DO) est donc tangente au premier cercle en D. Comme ADHE est un rectangle, le point O est sur (DE) donc (DE) est une tangente du premier cercle. Elle est tangente du second par un raisonnement analogue.

Voir aussi

Liens internes

Liens externes

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