Transformée de Stieltjes

Transformée de Stieltjes

En mathématiques, la transformée de Stieltjes d'une mesure de densité ρ sur un intervalle I est une fonction de la variable complexe z, définie à l'extérieur de cet intervalle par la formule :

S_{\rho}\left(z\right)=\int_I\frac{\rho\left(t\right)}{z-t} \, \mathrm dt.

Sous certaines conditions on peut reconstituer la densité d'origine à partir de sa transformée grâce à la formule d'inversion de Stieltjes-Perron. Par exemple, si la densité ρ est continue sur I, on aura à l'intérieur de cet intervalle :

\rho\left(x\right)=\lim_{\varepsilon \to 0^{+}}\, \frac{S_{\rho}\left(x-i\varepsilon\right)-S_{\rho}\left(x+i\varepsilon \right)}{2i\pi}

Relations avec les moments de la mesure

Si la mesure de densité ρ a des moments de tout ordre définis pour chaque entier par l'égalité :

c_n = \int_I t^n \cdot \rho\left(t\right)\,\mathrm dt,

alors la transformée de Stieltjes de ρ admet pour tout entier le développement asymptotique au voisinage de l'infini :

S_{\rho}\left(z\right)=\sum_{k=0}^{n}\frac{c_k}{z^{k+1}}+o\left(\frac{1}{z^{n+1}}\right).

Sous certaines conditions on obtient le développement en série entière :

S_{\rho}\left(z\right)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{c_n}{z^{n+1}}.

Relations avec les polynômes orthogonaux

Article détaillé : Mesures secondaires.

La correspondance \left(f,g\right) \mapsto \int_I f\left(t\right)g\left(t\right) \, \mathrm dt définit un produit scalaire sur l'espace des fonctions à valeurs réelles continues sur I.

Si n \mapsto P_n désigne une suite orthonormale pour ce produit scalaire, avec Pn de degré n pour tout entier, on lui associe la suite des polynômes secondaires définis par la relation :

Q_n\left(x\right)=\int_I \frac{P_n \left(t\right)-P_n \left(x\right)}{t-x}\rho\left(t\right)\, \mathrm dt.

On montre alors que la fraction F_n\left(z\right)=\frac{Q_n\left(z\right)}{P_n\left(z\right)} est un approximant de Padé de S_{\rho}\left(z\right) au voisinage de l'infini, au sens que :

S_\rho\left(z\right)-\frac{Q_n\left(z\right)}{P_n\left(z\right)}=O\left(\frac{1}{z^{2n}}\right)

Les deux suites de polynômes satisfaisant à une même relation de récurrence à trois termes successifs, on peut en déduire facilement un développement en fraction continue de la transformée de Stieltjes en question dont les réduites successives sont les fractions Fn(z).

La transformée de Stieltjes se révèle également un outil précieux pour construire à partir de ρ une mesure effective rendant les polynômes secondaires orthogonaux.

Voir aussi


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