Transformée de Clarke

Transformée de Clarke

La transformée de Clarke, est un outil mathématique utilisé en électrotechnique afin de modéliser un système triphasé grâce à un modéle diphasé

Un système triphasé constitué de bobines et de courants déphasés entre eux de \frac{2\pi}{3} permet de créer un champ tournant à la vitesse ω. Un système diphasé constitué de deux bobines perpendiculaires l'une par rapport à l'autre et parcourues par des courants déphasés entre eux de π / 2 permet de créer un champ tournant à la vitesse ω.

Sommaire

Matrice de transformation

Le but est de trouver les valeurs de xα et xβ à partir de xa , xb et xc. On peut modéliser le champ tournant créé par système triphasé par un système diphasé grâce aux transformations suivantes :


\begin{bmatrix} x_\alpha\\ x_\beta \end{bmatrix} = C_{23} \begin{bmatrix} x_a\\ x_b\\ x_c \end{bmatrix} \quad et \quad \begin{bmatrix} x_a\\ x_b\\ x_c \end{bmatrix} = C_{32} \begin{bmatrix} x_\alpha\\ x_\beta \end{bmatrix}

Pour résoudre ce système, l’axe 0a et 0α sont choisis parallèle à l’axe des réels. L’axe 0β est généralement choisi indirect par rapport à l’axe 0α . Ce n’est qu’une convention qui inverse les signes de la seconde colonne.

Ainsi , \begin{bmatrix} 0_a\\ 0_b\\ 0_c \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1\\ e^{j\frac{2\pi}{3}}\\ e^{-j\frac{2\pi}{3}} \end{bmatrix} \quad et \quad \begin{bmatrix} 0_{\alpha}\\ 0_{\beta} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1\\ -j \end{bmatrix}

Trouver les matrices C32 et C23 revient à résoudre le système matriciel suivant : \begin{bmatrix} 1\\ -j \end{bmatrix} = C_{23} \begin{bmatrix} 1\\ e^{j\frac{2\pi}{3}}\\ e^{-j\frac{2\pi}{3}} \end{bmatrix} \quad et \quad \begin{bmatrix} 1\\ e^{j\frac{2\pi}{3}}\\ e^{-j\frac{2\pi}{3}} \end{bmatrix} = C_{32} \begin{bmatrix} 1\\ -j \end{bmatrix}

Ce qui donne : C_{23} =\frac{2}{3} \begin{bmatrix} 1 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \end{bmatrix} \quad et \quad C_{32} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\ -\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \end{bmatrix} .

Avec \forall x\quad x_a+x_b+x_c=0

Il existe aussi une transformation de Concordia qui est la même que celle de Clarke mais qui est normée.

Électrotechnique

Une composante homopolaire x0 est rajoutée afin de prendre en compte un système déséquilibré. La composante homopolaire est la somme des trois grandeurs divisée par trois dans la théorie des composants symétriques x_0 =\frac{1}{3}(x_a+x_b+x_c).

\begin{bmatrix} x_a \\ x_b \\ x_c \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1\\ -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & 1 \\ -\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_\alpha\\ x_\beta \\ x_0 \end{bmatrix}

Voir aussi

Liens internes

Liens externes

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