Transformation de Fortescue
- Transformation de Fortescue
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Tout système de grandeurs triphasées déséquilibré peut se mettre sous la forme de la somme de trois systèmes équilibrés (ou symétriques) :
- un système équilibré direct noté Gd ;
- un système équilibré inverse noté Gi ;
- un système de tension homopolaire noté Go (en réalité une grandeur monophasée que l'on divise en 3 pour le calcul matriciel).
Systèmes triphasés homopolaires
Comme expliqué précédemment, ce n'est pas vraiment un système triphasé car cela correspond à un système de 3 tensions en phase :
- go = Gosin(ωt + φo)
- go = Gosin(ωt + φo)
- go = Gosin(ωt + φo)
L'intérêt de ce « faux système triphasé » est de faciliter l'écriture matricielle de la transformation de Fortescue.
Matrice de transformation
Le but est de trouver les valeurs de Gd, Gi et Go à partir de G1, G2 et G3.
Calcul de Go
Comme la somme des trois grandeurs d'un système équilibré est nulle, on a forcément :
- 3Gosin(ωt + φo) = G1sin(ωt + φ1) + G2sin(ωt + φ2) + G3sin(ωt + φ3)
Opérateur de rotation : a
- Remarque : Une grandeur soulignée représente le nombre complexe associé à la grandeur sinusoïdale considérée.
C'est un nombre complexe de module 1 et d'argument
: ![\underline a = e^{j\frac23\pi}](4/0148f8e00c352c8dfcc648367c498d79.png)
Le résultat de sa multiplication par le nombre complexe associé à une grandeur correspond à une autre grandeur de même amplitude et déphasée de
par rapport à la grandeur initiale. Il correspond à une rotation de
dans le plan de Fresnel.
Il vérifie les propriétés suivantes :
Matrice de Fortescue inverse
![\begin{bmatrix}
\underline G_o\\
\underline G_d\\
\underline G_i
\end{bmatrix}
= \frac13
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 \\
1 & \underline a & \underline a^2 \\
1 & \underline a^2 & \underline a \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\underline G_1\\
\underline G_2\\
\underline G_3
\end{bmatrix}](3/a33b65c168cddeab9641c09550dc8814.png)
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