Fortescue

Fortescue

Transformation de Fortescue

Tout système de grandeurs triphasées déséquilibré peut se mettre sous la forme de la somme de trois systèmes équilibrés (ou symétriques) :

  • Un système équilibré direct noté Gd.
  • Un système équilibré inverse noté Gi.
  • Un système de tension homopolaire noté Go (en réalité une grandeur monophasée que l'on divise en 3 pour le calcul matriciel).

Sommaire

Systèmes triphasés homopolaires

Comme expliqué précédemment, ce n'est pas vraiment un système triphasé car cela correspond à un système de 3 tensions en phase :

g_o = G_o\sin( \omega t+\varphi_o)
g_o = G_o\sin( \omega t+\varphi_o)
g_o = G_o\sin( \omega t+\varphi_o)

L'intérêt de ce faux système triphasé est de faciliter l'écriture matricielle de la transformation de Fortescue.

Matrice de transformation

Le but est de trouver les valeurs de Gd, Gi et Go à partir de G1, G2 et G3.

Calcul de Go

Comme la somme des trois grandeurs d'un système équilibré est nulle, on a forcément :

3 G_o\sin( \omega t+\varphi_o) = G_1\sin( \omega t+\varphi_1)+G_2\sin( \omega t+\varphi_2)+G_3\sin( \omega t+\varphi_3)

Opérateur de rotation : a

Remarque : Une grandeur soulignée représente le nombre complexe associé à la grandeur sinusoïdale considérée.

C'est un nombre complexe de module 1 et d'argument \tfrac23\pi : \underline a = e^{j\frac23\pi}

Le résultat de sa multiplication au nombre complexe associé à une grandeur correspond à une autre grandeur de même amplitude et déphasée de \tfrac23\pi par rapport à la grandeur initiale. Il correspond à une rotation de \tfrac23\pi dans le plan de Fresnel.

Il vérifie les propriétés suivantes :

  • \underline a^3 = 1
  • 1 + \underline a+ \underline a^2 = 0

Matrice de Fortescue inverse

\begin{bmatrix} \underline G_d\\ \underline G_i\\ \underline G_o \end{bmatrix} = \frac13 \begin{bmatrix} 1 & \underline a & \underline a^2 \\ 1 & \underline a^2 & \underline a \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \underline G_1\\ \underline G_2\\ \underline G_3 \end{bmatrix}

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