Théorème du nombre pentagonal

En mathématiques, le théorème du nombre pentagonal, dû originellement au mathématicien suisse Euler, établit que

Ce théorème peut être donné comme une interprétation combinatoire en termes de partages. En particulier, le côté gauche est une fonction génératrice (pour des raisons similaires sur les fonctions génératrices pour des fonctions de partage non restreintes) plus générales pour le nombre de partages de n en un nombre pair de parties distinctes moins le nombre de partages de n en un nombre impair de parties distinctes.

Par exemple, le coefficient de x⁵ est 1 parce qu'il existe deux manières de rompre 5 en un nombre pair de parties distinctes (4+1 et 3+2), mais seulement une manière de le faire pour un nombre impair de parties distinctes (5 lui-même).

Cette interprétation nous conduit à une preuve élégante de l'identité par involution. Considérons le graphe de Ferrer de n'importe quel partage de n en parties distinctes. (dans le diagramme ci-dessous n = 20 et le partage est 7 + 6 + 4 + 3)

o o o o o o +
o o o o o +
o o o o
o o o

Soit k le nombre d'éléments dans la plus petite ligne de notre graphe. Soit s le nombre d'éléments dans la ligne à 45 degrés la plus à droite (marqués par un signe plus dans le diagramme ci-dessus). Dans celui-ci, s = 2 et k = 3.

Si k > s, nous prenons la ligne à 45 degrés la plus à droite et nous la déplaçons pour former une nouvelle ligne, comme dans le graphe ci-dessous.

o o o o o o
o o o o o
o o o o
o o o
+ +

Si ce n'est pas le cas (comme dans notre nouveau graphe où k = 2, s = 5) nous renversons le processus en déplaçant la ligne du dessous pour former une nouvelle ligne à 45 degrés (en ajoutant 1 élément à chacune des première lignes k). Dans notre cas, ceci nous ramène au premier graphe.

Ceci nous montre qu'en fait, appliquer ce processus deux fois de suite nous ramène au graphe original et que le processus change la parité du nombre de lignes. Ainsi ce processus (quand il peut être exécuté) nous permet de répartir les partages dans les graphes de Ferrer contribuant à 1 et -1 à la somme originale. Tout s'annule, SANS qu'il n'existe aucun cas où notre opération ne pourrait être exécutée. En fait, il en existe deux.

1) k = s, la diagonale la plus à droite et la ligne du dessous se rencontrent. Par exemple,

o o o o o
o o o o
o o o

En essayant d'exécuter l'opération, cela nous conduirait à :

o o o o o o
o o o o o
      o  

ce qui n'est pas un graphe de Ferrer valide. S'il existe k éléments dans la dernière ligne du graphe original, alors

2) k=s-1, la diagonale la plus à droite et la ligne du dessous se rencontrent. Par exemple,

o o o o o o
o o o o o
o o o o

Notre opération requiert que nous déplacions la diagonale de droite vers la ligne du dessous, mais ceci nous conduirait à deux lignes de 3 éléments, ce qui est interdit, comme nous sommes en train de compter les partages en parties distinctes. Ceci est le cas précédent mais avec un élément supplémentaire dans chaque ligne, donc

En résumé, nous avons montré que les partages en un nombre pair de parties distinctes et en un nombre impair de parties distinctes s'annulent exactement les uns les autres, excepté pour les nombre pentagonaux, où il existe exactement un cas non-compris (qui contribue au facteur (-1)^k). Mais ceci est précisément ce que le côté droit de l'identité précédente devrait faire, donc nous avons fini.

Ceci donne une belle récurrence pour calculer p_n, le nombre de partages de n. Voir : Fonction partage d'un entier.

où plus formellement,

où la sommation est sur tous les (incluant les négatifs) i et q_i est le i^ième nombre pentagonal calculé comme précédemment.

Voir aussi

• Triple produit de Jacobi : On pourra remarquer que le théorème du nombre pentagonal est un cas particulier du triple produit de Jacobi

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