Théorème du papillon

Théorème du papillon
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Figure du théorème du papillon

Le théorème du papillon est un théorème de la géométrie euclidienne. Son nom provient de la similitude entre la disposition des deux triangles (voir figure) et les ailes d'un papillon.

Énoncé

Théorème du papillon — Soit M le milieu d'une corde arbitraire [PQ] d'un cercle. Quatre autres cordes sont tracées : [AB] et [CD] passant par M, puis les cordes [AD] et [BC], ces deux dernières intersectant la corde [PQ] en X et Y respectivement. Alors, MX = MY.

Démonstration

Les notations sont celles de la figure et correspondent à l'énoncé ci-dessus.

On nomme X1 le pied de la hauteur issue de X dans le triangle AXM. De même on nomme X2 pied de la hauteur issue de X dans le triangle DXM, Y1 pied de la hauteur issue de Y dans le triangle BYM et Y2 pied de la hauteur issue de Y dans le triangle CYM.

On remarque alors que les triangles MXX1 et MYY1 sont semblables car \widehat{MX_{1}X}=\widehat{MY_{1}Y} (ce sont des angles droits) et \widehat{X_{1}MX}=\widehat{Y_{1}MY} car ils sont opposés par le sommet ; d'où : \frac{MX}{XX_1}=\frac{MY}{YY_1}.

De même MXX2 est semblable à MYY2 et \frac{MX}{XX_2}=\frac{MY}{YY_2}.

On procède de la même manière pour les triangles semblables AXX1 et CYY2 sachant que \widehat{XAX_{1}}=\widehat{YCY_{2}} car ces angles interceptent le même arc (voir Théorème de l'angle inscrit et de l'angle au centre) ; d'où : \frac{AX}{XX_1}=\frac{CY}{YY_2}.

De même DXX2 est semblable à BYY1 et \frac{DX}{XX_2}=\frac{BY}{YY_1}.

On a donc :

\left( \frac{MX}{MY} \right)^2 = \frac{XX_1}{YY_1} \cdot \frac{XX_2}{YY_2}

= \frac{AX.DX}{CY.BY}
= \frac{PX.QX}{PY.QY} (voir Puissance d'un point par rapport à un cercle)
= \frac{(PM-MX)(QM+MX)}{(PM+MY)(QM-MY)}
= \frac{PM^2-MX^2}{PM^2-MY^2} car PM = QM

Ainsi MX2 = MY2, ce sont des longueurs donc MX = MY.

M est bien le milieu du segment [XY].

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