Théorème de zermelo

Théorème de zermelo

Théorème de Zermelo

En mathématiques, le théorème de Zermelo, appelé aussi théorème du bon ordre est un résultat de théorie des ensembles, démontré en 1904 par Ernst Zermelo qui affirme :

Théorème de Zermelo — Tout ensemble peut être muni d'une structure de bon ordre, c'est-à-dire d'un ordre tel que toute partie non vide admette un plus petit élément.

Ce théorème est équivalent à l'axiome du choix (et donc au lemme de Zorn).

Montrons par exemple qu'il implique l'axiome du choix. Soient E un ensemble bien ordonné, et \mathcal{P}(E) l'ensemble de ses parties. Alors, on définit une fonction de choix sur \mathcal{P}(E)-\emptyset en associant à une partie X non vide de E, son plus petit élément (l'existence d'une telle fonction est un des énoncés possibles de l'axiome du choix).

On déduit assez simplement le théorème de Zermelo du lemme de Zorn. Soit E un ensemble, soit M l'ensemble des relations de bon ordre sur une partie de E. M lui même peut être muni d'un ordre partiel: on dit qu'un bon ordre o1 est inférieur ou égal à un bon ordre o2 si o1 est un segment initial de o2. On vérifie ensuite que M muni de cette relation est un ensemble inductif. L'ensemble vide est bien ordonné par la relation vide, donc M est non vide. Une chaîne non vide de M admet un majorant (qui est même une borne supérieure), qui est la relation dont le graphe est la réunion des graphes des ordres de la chaîne. On vérifie que cette relation est bien une relation de bon ordre (on exploite le fait que la chaîne est ordonnée par segment initial). Donc M admet un élément maximal. Un tel élément maximal est alors un bon ordre sur tout E (on pourrait sinon le prolonger en un bon ordre successeur, ce qui contredit la maximalité).

  • Portail des mathématiques Portail des mathématiques
Ce document provient de « Th%C3%A9or%C3%A8me de Zermelo ».

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Théorème de zermelo de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Поможем написать реферат

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Theoreme de Zermelo — Théorème de Zermelo En mathématiques, le théorème de Zermelo, appelé aussi théorème du bon ordre est un résultat de théorie des ensembles, démontré en 1904 par Ernst Zermelo qui affirme : Théorème de Zermelo   Tout ensemble peut… …   Wikipédia en Français

  • Théorème de Zermelo — En mathématiques, le théorème de Zermelo, appelé aussi théorème du bon ordre est un résultat de théorie des ensembles, démontré en 1904 par Ernst Zermelo qui affirme : Théorème de Zermelo   Tout ensemble peut être muni d une… …   Wikipédia en Français

  • Théorème de krull — En algèbre commutative, le théorème de Krull est un résultat fondamental établissant l existence d idéaux maximaux pour les anneaux commutatifs, démontré en 1929, par le mathématicien allemand Wolfgang Krull (16 aout 1899 12 avril 1971)[1].… …   Wikipédia en Français

  • Théorème de Cantor — Le théorème de Cantor est un théorème mathématique, dans le domaine de la théorie des ensembles. Il énonce que le cardinal d un ensemble E est toujours strictement inférieur au cardinal de l ensemble de ses parties P(E), c est à dire… …   Wikipédia en Français

  • Théorème de Krull — En algèbre commutative, le théorème de Krull est un résultat fondamental établissant l existence d idéaux maximaux pour les anneaux commutatifs, démontré en 1929, par le mathématicien allemand Wolfgang Krull[1]. Relativement à la théorie de… …   Wikipédia en Français

  • Théorème de la base incomplète — En algèbre linéaire, le théorème de la base incomplète affirme que, dans un espace vectoriel E, toute famille libre de vecteurs peut être complétée en une famille libre et génératrice de E (c est à dire une base de E) ; de toute famille… …   Wikipédia en Français

  • Theoreme de Cantor — Théorème de Cantor Le théorème de Cantor est un théorème mathématique, dans le domaine de la théorie des ensembles. Il énonce que le cardinal d un ensemble E est toujours strictement inférieur au cardinal de l ensemble des ses parties P(E), c est …   Wikipédia en Français

  • Théorème de cantor — Le théorème de Cantor est un théorème mathématique, dans le domaine de la théorie des ensembles. Il énonce que le cardinal d un ensemble E est toujours strictement inférieur au cardinal de l ensemble des ses parties P(E), c est à dire… …   Wikipédia en Français

  • Theoreme de Hahn-Banach — Théorème de Hahn Banach Ce théorème, auquel a été donné le nom des deux mathématiciens Hans Hahn et Stefan Banach, garantit l existence d une forme linéaire vérifiant certaines conditions (valeurs imposées sur une partie de l espace, mais… …   Wikipédia en Français

  • Théorème de hahn-banach — Ce théorème, auquel a été donné le nom des deux mathématiciens Hans Hahn et Stefan Banach, garantit l existence d une forme linéaire vérifiant certaines conditions (valeurs imposées sur une partie de l espace, mais limitées partout). En… …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”