Théorème de sturm

Théorème de sturm

Théorème de Sturm

Le théorème de Sturm permet de calculer le nombre de racines réelles distinctes d'une fonction polynôme comprises dans un intervalle donné. Ce théorème a été établi en 1829 par Charles Sturm.

Enoncé du théorème

Le nombre de racines réelles distinctes dans un intervalle [a,b] d'un polynôme à coefficients réels, dont a et b ne sont pas des racines, est égal à la différence du nombre de changements de signe de la suite de Sturm aux bornes de cet intervalle.

Suite de Sturm

La suite de Sturm ou chaîne de Sturm est construite à partir des polynômes P_0=P~ et de sa dérivée P_1=P^\prime

P=x^n + \ldots + a_1 x + a_0
P^\prime=n*x^{(n-1)} + \ldots + a_1

Cette suite est la séquence de résultats intermédiaires que l'on obtient en appliquant l'algorithme d'Euclide à P_0~ et sa dérivée P_1~.

Pour obtenir cette suite on calcule :

\begin{matrix}
P_0&=&P_1 * Q_1 - P_2\\
P_1&=&P_2 * Q_2 - P_3\\
&\ldots&\\
\end{matrix}

Les Pi sont donc les opposés des restes successifs de la division des deux termes précédents de la suite. Si P~ possède uniquement des racines distinctes, le dernier terme est une constante non nulle. Si ce terme est nul, P~ admet des racines multiples, et on peut dans ce cas appliquer le théorème de Sturm en utilisant la suite T_0, T_1, \ldots, T_{r-2}, 1 que l'on obtient en divisant les P_1, P_2, \ldots, P_{r-1}\ par\ P_{r-1}.

Si on note \sigma(\xi)~ le nombre de changements de signe (zéro n'est pas compté comme un changement de signe) dans la séquence

P(\xi), P_1(\xi), P_2(\xi),\ldots, P_r(\xi).

le théorème de Sturm nous dit que pour deux nombres réels a, b~, a<b~, a et b ne sont pas des racines de P, le nombre de racines dans l'intervalle [a,b]~ est :

\sigma(a)-\sigma(b)~.

On peut utiliser ce théorème pour calculer le nombre de racines réelles distinctes en choisissant de manière appropriée les bornes a~ et b~, par exemple toutes les racines réelles d'un polynôme sont dans l'intervalle [-M, M]~ avec :

M=\max(1, \sum |a_i|).

Références

  • Sur la résolution des équations numériques, par C. Sturm Sciences mathématiques et physiques, Tome VI Paris 1835 p 271-318
  • Portail des mathématiques Portail des mathématiques
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