Théorème de newton-hamilton
- Théorème de newton-hamilton
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Théorème de Newton-Hamilton
Le théorème de Newton-Hamilton est un théorème de dynamique des champs à force centrale, de trajectoire une conique. La présentation sera ici faite avec une ellipse.
Énoncé
Soit une trajectoire (T) elliptique, décrite sous l'action d'une force centrale issue d'un point O (évidemment intérieur à l'ellipse). Soit (D) la polaire de O par rapport à l'ellipse ; et PH la distance du point matériel courant P à la polaire (D).
La force centrale est 
.
Applications
- La plus connue est celle de la Proposition 11 des Principia. Le théorème de Hamilton n'en est que la généralisation exprimée en géométrie des polaires. Choix de O : le soleil S situé au foyer de l'ellipse.
Sa polaire est la directrice (D), et donc PH3 = e3r3. On en tire la force 
.
- Une autre application est la position dégénérée du centre de l'ellipse. Il faut alors être prudent , afin de montrer que PH3 doit être considéré comme constant : on retrouve l'ellipse de Hooke.
- Soit un cercle de diamètre "vertical" OA = 2R. La polaire de O est l'axe "horizontal" x'Ox. On retrouve la Proposition 7 des Principia : le point courant est attiré par
.
Démonstration
Dans une conique (courbe du second ordre), f(x,y) = ax2 + 2cxy + by2 + 2dx + 2ey + f = 0, la droite polaire (D) de l'origine O est dx + ey + f = 0.
Et PH2˜(dx + ey + f)2, P se trouvant sur la conique.
On en déduit : 
.
Voir aussi
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2010.
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conduit à p3R˜(dx + ey + f)3
