Théorème de bertrand

Théorème de bertrand

Théorème de Bertrand

Le mathématicien Joseph Bertrand (1822-1900) démontra en 1873 (Compte-Rendus de l'Académie des Sciences, vol. 77, p.849) en mécanique du mouvement à force centrale le théorème suivant : seules les lois de force de Hooke -k.OM, qui produit une ellipse où péricentre P et apocentre A forment un angle (POA) égal à 90°, et de Newton : -k/r2.ur, qui produit une ellipse où l'angle(POA) vaut 180°, produisent une trajectoire fermée, quelles que soient les conditions initiales.

Sommaire

La démonstration de Arnol'd

  • Lemme 1 : on montre que l'angle AOP pour une loi de force en 1 / rn, vaut, quand l'énergie E° tend vers zéro par valeurs négatives, et donc que l'apocentre est très excentré, \widehat{AOP} = {\pi \over{3-n}} ; (il faut n < 3, pour ne pas avoir d'effondrement de la barrière centrifuge).
  • Lemme 2 : on montre que U(r) doit être une loi puissance, en regardant le cas quasi-circulaire (voir mouvement à force centrale) : \widehat{AOP} = {\pi \over \sqrt{3-n}} (le cas logarithmique n=1 est exclu par examen direct).
  • Conclusion : il faut 3 − n = 1 ; c'est le cas des orbites de Kepler.
  • Lemme 3 : le cas de la force en rp se résout par la dualité de la transmutation de la force :(3+p)(3-n) =4 ; par conséquent, à n=2 correspond p=1 : c'est le cas de l'ellipse de Hooke.

Fin de démonstration[1]

Le premier à se rendre compte que le cas linéaire de Hooke (très simple) donnait la solution du problème de Kepler est Isaac Newton. Édouard Goursat, Tullio Levi-Civita, puis Bohlin retrouvèrent ce théorème via la transformation conforme z → z2, qui transforme la trajectoire de Hooke en celle de Kepler, et par changement d'échelle de temps le mouvement de Hooke en mouvement de Kepler, mais évidemment la force est changée de − k.r à − k' / r2: cela s'appelle la régularisation du "choc" à moment cinétique quasi-nul.

Généralisation du problème de Bertrand

Si on ne suppose pas le champ central, il y a évidemment plus de possibilités. On en connaît certaines. Pour deux degrés de liberté, cela arrive quand le système possède une équation d'Hamilton-jacobi séparable dans deux systèmes de coordonnées. Ces cas renvoient à la supersymétrie signalée dans l'article puits de potentiel.

  • Le mouvement libre sur la sphère S3 donne par projection stéréographique l'hamiltonien H = {p^2\over (1+q^2)^2} dont les trajectoires sont évidemment fermées.
  • Le mouvement libre sur la poire de Paul Tannery, d'équation cartésienne 16a2(x2+y2) = z2(2a2-z2) est périodique (1892)
  • Si l'on exige que les trajectoires soient des coniques, Darboux (1877) et Halphen (1877) ont trouvé deux forces centrales (non conservatives car dépendant de l'angle polaire) en r \over d^3 où d représente la distance à une droite du plan (généralise Newton, via une polaire) et en r \over D^3, avec D2 = ax2 + 2bxy + cy2.
  • Si on abandonne l'idée de force centrale, les trajectoires peuvent être des coniques via des forces parallèles de deux types.
  • Enfin sur la sphère S2, Besse (1978) donne les déformations de la métrique conduisant à des courbes fermées sans symétrie de révolution.

Notes et références de l'article

  1. ↑ La démonstration de Herbert Goldstein est plus simple avec un système de calcul formel comme Maple ou Mathematica).

Voir aussi

Articles connexes

Liens et documents externes

  • Article original de Joseph Bertrand (1873) [1] et traduction anglaise [2].
  • H. Goldstein, Mécanique classique (1964), Presses Universitaires de France
  • Pérélomov, Integrable systems (1990), éd. Birkhaüser, (ISBN 3-76432-331-X)
  • Démonstration fournie dans la deuxième édition de "Classical Mechanics" de H. Goldstein, 1980. [3]
  • Eddie Saudrais, démonstration basée sur celle de H. Goldstein, Classical Mechanics, seconde édition, 1980. [4]
  • Autre démonstration : Inverse problem and Bertrand's theorem. [5]
  • Autre démonstration : A non-perturbative proof of Bertrand's theorem. [6]
  • Portail de la physique Portail de la physique
Ce document provient de « Th%C3%A9or%C3%A8me de Bertrand ».

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Théorème de bertrand de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Поможем написать курсовую

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Theoreme de Bertrand — Théorème de Bertrand Le mathématicien Joseph Bertrand (1822 1900) démontra en 1873 (Compte Rendus de l Académie des Sciences, vol. 77, p.849) en mécanique du mouvement à force centrale le théorème suivant : seules les lois de force de… …   Wikipédia en Français

  • Théorème de Bertrand — Le mathématicien Joseph Bertrand (1822 1900), dit Le Chiffre, démontra en 1873 (Compte Rendus de l Académie des Sciences, vol. 77, p.849) en mécanique du mouvement à force centrale le théorème suivant : seules les lois de force de Hooke …   Wikipédia en Français

  • Bertrand — Cette page d’homonymie répertorie les différents sujets et articles partageant un même nom. Bertrand est un nom propre qui peut désigner : Sommaire 1 Prénom et patronyme 2 Saints …   Wikipédia en Français

  • Theoreme de Cox-Jaynes — Théorème de Cox Jaynes Le théorème de Cox Jaynes (1946) est une codification des processus d apprentissage à partir d un certain ensemble de postulats. Cette codification se trouve coïncider au terme de ces considérations avec celle… …   Wikipédia en Français

  • Théorème de cox-jaynes — Le théorème de Cox Jaynes (1946) est une codification des processus d apprentissage à partir d un certain ensemble de postulats. Cette codification se trouve coïncider au terme de ces considérations avec celle historiquement d origine toute… …   Wikipédia en Français

  • Theoreme de la bijection — Théorème de la bijection En analyse réelle, on appelle théorème de la bijection un corollaire du théorème des valeurs intermédiaires prouvant l existence d une bijection entre deux ensembles. Cette version se complète dans le supérieur par des… …   Wikipédia en Français

  • Théorème de Cox-Jaynes — Le théorème de Cox Jaynes (1946) est une codification des processus d apprentissage à partir d un certain ensemble de postulats. Cette codification se trouve coïncider au terme de ces considérations avec celle historiquement d origine toute… …   Wikipédia en Français

  • Théorème de Tchebychev — Postulat de Bertrand En mathématiques, le postulat de Bertrand, aussi appelé théorème de Tchebychev, affirme qu entre un entier et son double existe toujours un nombre premier. Plus formellement, si n est un entier naturel supérieur ou égal à 2,… …   Wikipédia en Français

  • Théorème de la bijection — En analyse réelle, le théorème de la bijection est un corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, affirmant qu une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle constitue une bijection entre cet intervalle et son image. Cette …   Wikipédia en Français

  • Théorème de Cantor — Le théorème de Cantor est un théorème mathématique, dans le domaine de la théorie des ensembles. Il énonce que le cardinal d un ensemble E est toujours strictement inférieur au cardinal de l ensemble de ses parties P(E), c est à dire… …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”