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Théorème de Chudnovsky
Le théorème de Chudnovsky est un théorème qui montre sous certaines conditions qu'une fonction continue est limite uniforme de fonctions polynômes à coefficients entiers. C'est un raffinement du théorème de Stone-Weierstrass.
Enoncé
Soit
une fonction continue définie sur un segment I = [a;b] ne contenant pas d'entiers. Alors il existe une suite
de polynômes à coefficients entiers convergeant uniformément vers f sur I.
Idée de la preuve
Ramenons-nous au cas où
. La première étape de la preuve consiste à montrer modestement que la fonction constante
est limite uniforme de polynômes à coefficients entiers. On peut même expliciter cette suite
de polynômes par :
P0 = X,Pn + 1 = 2(1 − Pn)Pn Dans un deuxième temps, on élargit ce résultat à toutes les fonctions constantes : en effet, les applications continues de [a;b] dans
muni de la norme uniforme forment une algèbre sur
que l'on note
. L'ensemble des limites uniformes de polynômes à coefficients entiers
est un fermé contenant toutes les fonctions constantes vers un nombre dyadique.
Mais les nombres dyadiques sont denses dans
, donc
contient toutes les fonctions constantes. Mais c'est aussi une algèbre qui contient X et
, elle contient donc
, et a fortiori
. Or le théorème de Stone-Weierstrass nous assure que
.
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