Théorème de chudnovsky

Théorème de chudnovsky

Théorème de Chudnovsky

Le théorème de Chudnovsky est un théorème qui montre sous certaines conditions qu'une fonction continue est limite uniforme de fonctions polynômes à coefficients entiers. C'est un raffinement du théorème de Stone-Weierstrass.

Enoncé

Soit f : I \to \mathbb{R} une fonction continue définie sur un segment I = [a;b] ne contenant pas d'entiers. Alors il existe une suite (P_n)_{n \in \mathbb{N}} de polynômes à coefficients entiers convergeant uniformément vers f sur I.

Idée de la preuve

Ramenons-nous au cas où [a;b] \subseteq ] 0 ;1[ . La première étape de la preuve consiste à montrer modestement que la fonction constante x \in [a;b] \mapsto \frac{1}{2} est limite uniforme de polynômes à coefficients entiers. On peut même expliciter cette suite (P_n)_{n \in \mathbb{N}} de polynômes par :

P0 = X,Pn + 1 = 2(1 − Pn)Pn

Dans un deuxième temps, on élargit ce résultat à toutes les fonctions constantes : en effet, les applications continues de [a;b] dans \mathbb{R} muni de la norme uniforme forment une algèbre sur \mathbb{R} que l'on note \mathcal{C}. L'ensemble des limites uniformes de polynômes à coefficients entiers \overline{\mathbb{Z}[X]} est un fermé contenant toutes les fonctions constantes vers un nombre dyadique.

Mais les nombres dyadiques sont denses dans \mathbb{R}, donc \overline{\mathbb{Z}[X]} contient toutes les fonctions constantes. Mais c'est aussi une algèbre qui contient X et \mathbb{R}, elle contient donc \mathbb{R}[X], et a fortiori \overline{\mathbb{R}[X]}. Or le théorème de Stone-Weierstrass nous assure que \overline{\mathbb{R}[X]} = \mathcal{C}.

  • Portail des mathématiques Portail des mathématiques
Ce document provient de « Th%C3%A9or%C3%A8me de Chudnovsky ».

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Théorème de chudnovsky de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Поможем сделать НИР

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Theoreme de Chudnovsky — Théorème de Chudnovsky Le théorème de Chudnovsky est un théorème qui montre sous certaines conditions qu une fonction continue est limite uniforme de fonctions polynômes à coefficients entiers. C est un raffinement du théorème de Stone… …   Wikipédia en Français

  • Théorème de Chudnovsky — Le théorème de Chudnovsky est un théorème qui montre sous certaines conditions qu une fonction continue est limite uniforme de fonctions polynômes à coefficients entiers. C est un raffinement du théorème de Stone Weierstrass. Enoncé Soit une… …   Wikipédia en Français

  • Theoreme de Stone-Weierstrass — Théorème de Stone Weierstrass Le théorème d approximation de Weierstrass affirme que toute fonction continue définie sur un compact peut être approchée aussi près que l on veut par une fonction polynomiale. Parce que les fonctions polynômes sont… …   Wikipédia en Français

  • Theoreme de Weierstrass — Théorème de Stone Weierstrass Le théorème d approximation de Weierstrass affirme que toute fonction continue définie sur un compact peut être approchée aussi près que l on veut par une fonction polynomiale. Parce que les fonctions polynômes sont… …   Wikipédia en Français

  • Théorème de Weierstraß — Théorème de Stone Weierstrass Le théorème d approximation de Weierstrass affirme que toute fonction continue définie sur un compact peut être approchée aussi près que l on veut par une fonction polynomiale. Parce que les fonctions polynômes sont… …   Wikipédia en Français

  • Théorème de stone-weierstrass — Le théorème d approximation de Weierstrass affirme que toute fonction continue définie sur un compact peut être approchée aussi près que l on veut par une fonction polynomiale. Parce que les fonctions polynômes sont les fonctions les plus simples …   Wikipédia en Français

  • Théorème de weierstrass — Théorème de Stone Weierstrass Le théorème d approximation de Weierstrass affirme que toute fonction continue définie sur un compact peut être approchée aussi près que l on veut par une fonction polynomiale. Parce que les fonctions polynômes sont… …   Wikipédia en Français

  • Théorème de Stone-Weierstrass — Pour les articles homonymes, voir Théorème de Weierstrass. En mathématiques, le théorème de Stone Weierstrass est une généralisation du théorème d approximation de Weierstrass en analyse réelle, selon lequel toute fonction continue définie sur un …   Wikipédia en Français

  • Theoreme des graphes parfaits — Théorème des graphes parfaits Sommaire 1 Contexte 2 Théorèmes 3 Intérêt 4 Notes 5 Références …   Wikipédia en Français

  • Théorème des graphes parfaits — Le graphe parfait est une notion introduite par Claude Berge, dont les conjectures ont été démontrées en 1972 et 2002 et sont devenues des théorèmes. Sommaire 1 Contexte 2 Théorèmes 3 Intérêt …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”