Theoreme de Chudnovsky

Theoreme de Chudnovsky

Théorème de Chudnovsky

Le théorème de Chudnovsky est un théorème qui montre sous certaines conditions qu'une fonction continue est limite uniforme de fonctions polynômes à coefficients entiers. C'est un raffinement du théorème de Stone-Weierstrass.

Enoncé

Soit f : I \to \mathbb{R} une fonction continue définie sur un segment I = [a;b] ne contenant pas d'entiers. Alors il existe une suite (P_n)_{n \in \mathbb{N}} de polynômes à coefficients entiers convergeant uniformément vers f sur I.

Idée de la preuve

Ramenons-nous au cas où [a;b] \subseteq ] 0 ;1[ . La première étape de la preuve consiste à montrer modestement que la fonction constante x \in [a;b] \mapsto \frac{1}{2} est limite uniforme de polynômes à coefficients entiers. On peut même expliciter cette suite (P_n)_{n \in \mathbb{N}} de polynômes par :

P0 = X,Pn + 1 = 2(1 − Pn)Pn

Dans un deuxième temps, on élargit ce résultat à toutes les fonctions constantes : en effet, les applications continues de [a;b] dans \mathbb{R} muni de la norme uniforme forment une algèbre sur \mathbb{R} que l'on note \mathcal{C}. L'ensemble des limites uniformes de polynômes à coefficients entiers \overline{\mathbb{Z}[X]} est un fermé contenant toutes les fonctions constantes vers un nombre dyadique.

Mais les nombres dyadiques sont denses dans \mathbb{R}, donc \overline{\mathbb{Z}[X]} contient toutes les fonctions constantes. Mais c'est aussi une algèbre qui contient X et \mathbb{R}, elle contient donc \mathbb{R}[X], et a fortiori \overline{\mathbb{R}[X]}. Or le théorème de Stone-Weierstrass nous assure que \overline{\mathbb{R}[X]} = \mathcal{C}.

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