Théorème de Stolz-Cesàro

Théorème de Stolz-Cesàro

En mathématiques, le théorème de Stolz-Cesàro est un critère permettant de montrer la convergence d'une suite.

Soit (a_n)_{n \geq 1} et (b_n)_{n \geq 1} deux suites de nombres réels, avec bn strictement croissante et non majorée. Si la limite suivante existe,

\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}=\ell \in \R;

alors la limite \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} existe aussi et est égale à \ell.

Démonstration

On a

\forall \varepsilon >0,\ \exists N \in \N,\ \forall n \in \N,\ n \geq N \Longrightarrow \ell-\varepsilon < \frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n} < \ell + \varepsilon.

Et par croissance

\forall n \in \N,\ b_{n+1} -b_n \geq 0.

Finalement, pour n \geq N,

(\ell-\varepsilon)(b_{n+1}-b_n) < a_{n+1}-a_n < (\ell+\varepsilon)(b_{n+1}-b_n).

Puis en sommant pour i \in \{N,\ldots,n\},

(\ell-\varepsilon)\sum_{i=N}^{n}(b_{i+1}-b_i) < \sum_{i=N}^{n}(a_{i+1}-a_i) < (\ell+\varepsilon)\sum_{i=N}^{n}(b_{i+1}-b_i).

Et par télescopage

(\ell-\varepsilon)(b_{n+1}-b_{N}) < a_{n+1} - a_{N} < (\ell+\varepsilon)(b_{n+1}-b_{N}).

On en déduit que (puisque bn + 1 > 0 à partir d'un certain rang)

(\ell-\varepsilon)(1 - \frac{b_{N}}{b_{n+1}}) + \frac{a_{N}}{b_{n+1}}< \frac{a_{n+1}}{b_{n+1}}<(\ell+\varepsilon)(1 - \frac{b_{N}}{b_{n+1}}) + \frac{a_{N}}{b_{n+1}}.

Comme (bn) diverge vers + \infty, lorsque n \rightarrow + \infty on obtient bien le théorème.

Le théorème de Stolz-Cesàro peut être vu comme une généralisation de la moyenne de Cesàro (mais aussi comme une règle analogue à la règle de l'Hôpital).

Son nom vient des mathématiciens Otto Stolz et Ernesto Cesàro.


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