Théorème de Stolz-Cesàro
- Théorème de Stolz-Cesàro
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En mathématiques, le théorème de Stolz-Cesàro est un critère permettant de montrer la convergence d'une suite.
Soit
et
deux suites de nombres réels, avec bn strictement croissante et non majorée. Si la limite suivante existe,

alors la limite
existe aussi et est égale à
.
Démonstration
On a
0,\ \exists N \in \N,\ \forall n \in \N,\ n \geq N \Longrightarrow \ell-\varepsilon < \frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n} < \ell + \varepsilon." border="0">
Et par croissance

Finalement, pour
,

Puis en sommant pour
,

Et par télescopage

On en déduit que (puisque bn + 1 > 0 à partir d'un certain rang)

Comme (bn) diverge vers
, lorsque
on obtient bien le théorème.
Le théorème de Stolz-Cesàro peut être vu comme une généralisation de la moyenne de Cesàro (mais aussi comme une règle analogue à la règle de l'Hôpital).
Son nom vient des mathématiciens Otto Stolz et Ernesto Cesàro.
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2010.
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