Theoreme de Stolz-Cesaro
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Théorème de Stolz-Cesàro
En mathématiques, le théorème de Stolz-Cesàro est un critère permettant de montrer la convergence d'une suite.
Soit
et
deux suites de nombres réels, avec bn strictement croissante et non majorée. Si la limite suivante existe,
![\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}=\ell \in \R;](/pictures/frwiki/49/10660983caf631e1bcf8ce1453cd4e46.png)
alors la limite
existe aussi et est égale à
.
Démonstration
On a
0,\ \exists N \in \N,\ \forall n \in \N,\ n \geq N \Longrightarrow \ell-\varepsilon < \frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n} < \ell + \varepsilon." style="max-width : 98%; height: auto; width: auto;" src="/pictures/frwiki/53/545c47c1b05b0cd189d245288d31570a.png" border="0">
Et par croissance
![\forall n \in \N,\ b_{n+1} -b_n \geq 0.](/pictures/frwiki/97/aae7730fd4431d46d817bf2c2579e395.png)
Finalement, pour
,
![(\ell-\varepsilon)(b_{n+1}-b_n) < a_{n+1}-a_n < (\ell+\varepsilon)(b_{n+1}-b_n).](/pictures/frwiki/51/3cf7b0ac57dd5b0a806b942251af3445.png)
Puis en sommant pour
,
![(\ell-\varepsilon)\sum_{i=N}^{n}(b_{i+1}-b_i) < \sum_{i=N}^{n}(a_{i+1}-a_i) < (\ell+\varepsilon)\sum_{i=N}^{n}(b_{i+1}-b_i).](/pictures/frwiki/49/18470e2da02d804a49aa34689bf1cd8f.png)
Et par télescopage
![(\ell-\varepsilon)(b_{n+1}-b_{N}) < a_{n+1} - a_{N} < (\ell+\varepsilon)(b_{n+1}-b_{N}).](/pictures/frwiki/97/ace4838ff2d0fb3e9bb23d7ac5145491.png)
On en déduit que
![(\ell-\varepsilon)(1 - \frac{b_{N}}{b_{n+1}}) + \frac{a_{N}}{b_{n+1}}< \frac{a_{n+1}}{b_{n+1}}<(\ell+\varepsilon)(1 - \frac{b_{N}}{b_{n+1}}) + \frac{a_{N}}{b_{n+1}}.](/pictures/frwiki/56/82da5f6ee7e83f488e520d5bc074b182.png)
Comme (bn) diverge vers
, lorsque
on obtient bien le théorème.
Le théorème de Stolz-Cesàro peut être vu comme une généralisation de la moyenne de Cesàro (mais aussi comme une règle analogue à la règle de l'Hôpital).
Son nom vient des mathématiciens Otto Stolz et Ernesto Cesàro.
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2010.
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