- Théorème de Ménélaüs
-
En mathématiques, et plus précisément en géométrie, le théorème de Ménélaüs, dû à Ménélaüs d'Alexandrie, affirme que si D, E et F sont trois points des côtés (BC), (AC) et (AB) d'un triangle ABC, alors D, E et F sont alignés si et seulement si ::
Une telle droite est appelée une ménélienne du triangle ABC.
Démonstration du théorème de Ménélaüs
Soit A' le point appartenant à la droite (FD) tel que (AA)' soit parallèle à (BD). D'après le théorème de Thalès appliqué aux triangles FBD et EDC, on a respectivement les égalités de rapports de mesures algébriques :
On en déduit que
ce qui équivaut à
Réciproquement, soient DEF trois points appartenant respectivement aux côtés (BC), (AC) et (AB) d'un triangle et tels que
Supposons d'abord que (EF) et (BC) soient parallèles. En appliquant le théorème de Thalès dans le triangle ABC, on aurait
Compte tenu de l'hypothèse, cela implique que soit , donc on aurait B=C ce qui est impossible. On en déduit que (EF) et (BC) sont sécantes et on appelle X leur point d'intersection.
Comme démontré plus haut, on a
et d'après l'hypothèse, on a donc ce qui implique X=D. Les points D, E et F sont donc alignés.
Voir aussi
Catégories :- Théorème de géométrie
- Géométrie du triangle
-
Wikimedia Foundation. 2010.