Théorème de ménélaüs

Théorème de Ménélaüs

Le théorème de Ménélaüs d'Alexandrie affirme que si D, E et F sont trois points des côtés (BC), (AC) et (AB) d'un triangle ABC, alors D, E et F sont alignés si et seulement si :: $\frac{\overline{DB}}{\overline{DC}}\times \frac{\overline{EC}}{\overline{EA}} \times \frac{\overline{FA}}{\overline{FB}} = 1$

Une telle droite est appelée une ménélienne du triangle ABC.

Démonstration du théorème de Ménélaüs

Soient D, E, et F trois points alignés appartenant aux côtés (BC), (AC) et (AB) d'un triangle. Introduisons A' le projeté de A sur (EF) parallèlement à (BC) ; A' est simplement le point d'intersection de la droite (EF) avec la parallèle à (BC) passant par A.

D'après le théorème de Thalès appliqué aux triangles FBD et EDC, on a respectivement

$\frac{\overline{FB}}{\overline{FA}} = \frac{\overline{BD}}{\overline{AA'}}$ et $\frac{\overline{CD}}{\overline{AA'}} = \frac{\overline{EC}}{\overline{EA}}$

en mesures algébriques. On en déduit que

$\frac{\overline{FB}}{\overline{FA} \times \overline{BD}} = \frac{\overline{EC}}{\overline{EA}\times \overline{CD}} =\frac{1}{\overline{AA'}}$

ce qui équivaut à

$\frac{\overline{DB}}{\overline{DC}}\times \frac{\overline{EC}}{\overline{EA}} \times \frac{\overline{FA}}{\overline{FB}} = 1$

Réciproquement, soient DEF trois points appartenant respectivement aux côtés (BC), (AC) et (AB) d'un triangle et tels que

$\frac{\overline{DB}}{\overline{DC}}\times \frac{\overline{EC}}{\overline{EA}} \times \frac{\overline{FA}}{\overline{FB}} = 1$

Supposons d'abord que (EF) et (BC) soient parallèles. En appliquant le théorème de Thalès dans le triangle ABC, on aurait

$\frac{\overline{EA}}{\overline{EC}} = \frac{\overline{FA}}{\overline{FB}}$

Compte tenu de l'hypothèse, cela implique que ${\overline{DB}}/{\overline{DC}}=1$ soit $\overline{DB} = \overline{DC}$ , donc on aurait B=C ce qui est impossible. On en déduit que (EF) et (BC) sont sécantes et on appelle X leur point d'intersection.

Comme démontré plus haut, on a

$\frac{\overline{XB}}{\overline{XC}}\times \frac{\overline{EC}}{\overline{EA}} \times \frac{\overline{FB}}{\overline{FA}} = 1$

et d'après l'hypothèse, on a donc ${\overline{DB}}/{\overline{DC}}={\overline{XB}}/{\overline{XC}}$ ce qui implique X=D. Les points D, E et F sont donc alignés.

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