Théorème de Moivre-Laplace

Théorème de Moivre-Laplace: Une planche de Galton illustre le fait que la loi binomiale tend vers la loi normale.

En probabilités, le Théorème de Moivre-Laplace stipule que si la variable $X n$ suit une loi binomiale d'ordre $n$ et de paramètre $0 < p < 1$ , alors pour $n$ suffisamment grand la variable
$Z_n = \frac{X_n-np}{\sqrt{np(1-p)}}$
converge en loi vers une loi normale centrée et réduite $\mathcal{N}(0,1)$ .

Abraham de Moivre fut le premier à l’établir dans le cas particulier $p = 1 / 2$ en 1733, tandis que Pierre-Simon de Laplace a pu le généraliser pour toute valeur de $p$ en 1812. Il s'agit d'un cas particulier du théorème central limite.

Démonstration du théorème de Moivre-Laplace

Soit $X n$ une suite de variables binomiales $X_n \sim \mathcal{B}(n,\, p)$ .

La fonction caractéristique de $X n$ est :
$\varphi_{X_n}(t) = (pe^{it} + q)^n$ . Celle de $Z_n= \frac{X_n - np}{\sqrt{npq}}$ est : $\varphi_{Z_n}(t) = (pe^{\frac{it}{\sqrt{npq}}} + q)^{n}e^{\frac{-itnp}{\sqrt{npq}}}$
Calculons le logarithme de cette fonction :

$\ln\varphi_{Z} = n\ln [(pe^{\frac{it}{\sqrt{npq}}} + q)] - \frac{-itnp}{\sqrt{npq}} = n\ln [(p(e^{\frac{it}{\sqrt{npq}}}-1) + 1)] - \frac{-itnp}{\sqrt{npq}}$ .

On développe l'exponentielle au 2e ordre, il vient :

$\ln\varphi_{Z} \approx n\ln[1+p(\frac{it}{\sqrt{npq}}-\frac{t^2}{2npq})]- \frac{-itnp}{\sqrt{npq}}$ .

On développe ensuite le logarithme au 2e ordre, on trouve :

$\ln\varphi_{Z} \approx n(\frac{pit}{\sqrt{npq}} -\frac{pt^2}{2npq} + \frac{p^2t^2}{2npq})- \frac{-itnp}{\sqrt{npq}} = \frac{t^2}{2q} + \frac{pt^2}{2q} = \frac{t^2}{2q}(p-1) = -\frac{t^2}{2}$ .

On a démontré que :
$\ln\varphi_{Z} \approx \frac{-t^2}{2}$ et on déduit que $\varphi_{Z} \approx e^{\frac{-t^2}{2}}$ .
C'est la fonction caractéristique de la loi normale centrée réduite $\mathcal{N}(0,1)$ .

Autrement dit, si $X n$ suit une loi binomiale la probabilité d'avoir au plus $x$ succès est donné par :
$\operatorname{P}(X_n \le x) = \sum_{k=0}^{\lfloor x \rfloor}{n \choose k}p^k (1-p)^{n-k}$
Et si $Φ$ est la fonction de répartition de $\mathcal{N}(0,1)$ on a alors :
$\lim_{n\to\infty}\operatorname{P}(X_n \le x) = \Phi \left( \frac{x - np}{\sqrt{np(1-p)}} \right)$
Cette convergence est bonne en général pour $n p (1 - p) > 9$ .

Pratiquement, il faut cependant faire attention au fait que les variables $X n$ sont discrètes. Graphiquement, cela se traduit par le fait que les extrémités des bâtons du diagramme de la loi binomiale $X_n \sim \mathcal{B}(n,\, p)$ sont proches de la courbe de densité de la loi normale $\mathcal{N}(np,\sqrt{npq})$ . On peut obtenir une valeur approchée de $P(X n = x)$ par le calcul de la surface sous la courbe de densité comprise entre les droites d'abscisse $x - 1 / 2$ et $x + 1 / 2$ .
$\operatorname{P}(X_n = x)\approx\operatorname{P}\left(\frac{x-\frac{1}{2}-np}{\sqrt{npq}} < N < \frac{x+\frac{1}{2}-np}{\sqrt{npq}}\right)$ $\operatorname{P}(X_n \leq x)\approx\operatorname{P}\left(N < \frac{x+\frac{1}{2}-np}{\sqrt{npq}}\right)$
On appelle cette procédure la « correction de continuité ».

Exemple

$X_n \sim \mathcal{B}(50,\, 0,3)$ ; $n p = 15$ ; $n q = 35$

D'après les tables, la valeur exacte pour $P(X n = 10) = 0,038619$ .

La formule d'approximation avec une loi $\mathcal{N}(np,\sqrt{npq}) = \mathcal{N}(15,\sqrt{10,5})$ donne le résultat :
$\operatorname{P}\left(\frac{9,5-15}{\sqrt{10,5}} < N < \frac{10,5-15}{\sqrt{10,5}}\right)$
soit
$\operatorname{P}(-1,7 < N < -1,39) = \operatorname{P}( 1,39 < N < 1,7) = 0,9554-0,9177 = 0,0377$
L'erreur d'approximation est faible.

Pour $\mathrm{P}(X_n \leq 10) = 0,0789$ , l'approximation usuelle fournit $P(N < - 1,39) = P(N > 1,39) = 1 - P(N < 1,39) = 0,0823$ .

Si nous n'avions pas corrigé la continuité de l'approximation nous aurions eu :
$\operatorname{P}\left(N \leq \frac{10-15}{\sqrt{10,5}}\right) = \operatorname{P}(N \leq -1,54)= 1-\operatorname{P}(N \leq 1,54)= 0,0618$ .
Cette dernière valeur est assez imprécise.

Voir aussi

Convergence de variables aléatoires

Théorème central limite

Planche de Galton

Portail des probabilités et des statistiques

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Théorème de mathématiques
Probabilités

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