Théorème de Mertens

Théorème de Mertens

En théorie des nombres, trois théorèmes de Mertens, démontrés en 1874 par Franz Mertens[1], sont reliés à la densité des nombres premiers. Un autre théorème de Mertens, en analyse, porte sur le produit de Cauchy de deux séries.

Dans ce qui suit, par convention, une indexation par p ≤ n ne porte que sur les nombres premiers p inférieurs à n.

Sommaire

Premier théorème

\forall n\ge1,~\left|\sum_{p\le n}\frac{\ln p}p-\ln n\right|<2.

La démonstration utilise la formule de Legendre sur les valuations p-adiques de n!.

Deuxième théorème

\lim_{n\to\infty}\left(\sum_{p\le n}\frac1p-\ln\ln n-M\right)=0,

où M est la constante de Meissel-Mertens.

Plus exactement Mertens montre que l'expression sous la limite n'excède pas en valeur absolue

\frac4{\ln(n+1)}+\frac2{n\ln n}\ \ (n\ge 2).


Troisième théorème

\lim_{n\to\infty}\prod_{p\le n}\left(1-\frac1p\right)\ln n=e^{-\gamma},

où γ est la constante d'Euler-Mascheroni.

Note et référence

  1. ↑ (de) F. Mertens, « Ein Beitrag zur analytischen Zahlentheorie », dans J. reine angew. Math., vol. 78, 1874, p. 46-62 

Liens externes



Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Théorème de Mertens de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Нужна курсовая?

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Theoreme de Mertens — Théorème de Mertens On désigne habituellement sous le nom de premier théorème de Mertens l estimation suivante, où, par convention, une somme (ou un produit) indexée par p désigne une somme (ou un produit) ne portant que sur les nombres premiers …   Wikipédia en Français

  • Théorème de mertens — On désigne habituellement sous le nom de premier théorème de Mertens l estimation suivante, où, par convention, une somme (ou un produit) indexée par p désigne une somme (ou un produit) ne portant que sur les nombres premiers. Pour tout réel , on …   Wikipédia en Français

  • Mertens — Cette page d’homonymie répertorie les différents sujets et articles partageant un même nom. Patronyme Le nom de Mertens est porté par plusieurs personnalités (par ordre alphabétique) : Franz Mertens (1840 1927), mathématicien allemand. Franz …   Wikipédia en Français

  • Constante de Meissel-Mertens — En mathématiques, la constante de Meissel (de) Mertens (également nommée constante de Mertens, constante de Kronecker, constante de Hadamard de La Vallée Poussin ou constante des inverses des nombres premiers) est utilisée principalement en… …   Wikipédia en Français

  • Constante De Meissel-Mertens — En mathématiques, la constante de Meissel Mertens (également nommée dans la littérature mathématique constante de Mertens, constante de Kronecker, constante d Hadamard de la Vallée Poussin ou constante des inverses des nombres premiers) est une… …   Wikipédia en Français

  • Constante de meissel-mertens — En mathématiques, la constante de Meissel Mertens (également nommée dans la littérature mathématique constante de Mertens, constante de Kronecker, constante d Hadamard de la Vallée Poussin ou constante des inverses des nombres premiers) est une… …   Wikipédia en Français

  • Franz Mertens — Pour les articles homonymes, voir Mertens. Franz Mertens (20 mars 1840 5 mars 1927) est un mathématicien allemand, né à Środa Wielkopolska (actuellement en Pologne) et mort à Vienne (Autriche). Le deuxième de ses trois… …   Wikipédia en Français

  • Liste des articles de mathematiques — Projet:Mathématiques/Liste des articles de mathématiques Cette page recense les articles relatifs aux mathématiques, qui sont liés aux portails de mathématiques, géométrie ou probabilités et statistiques via l un des trois bandeaux suivants  …   Wikipédia en Français

  • Projet:Mathématiques/Liste des articles de mathématiques — Cette page n est plus mise à jour depuis l arrêt de DumZiBoT. Pour demander sa remise en service, faire une requête sur WP:RBOT Cette page recense les articles relatifs aux mathématiques, qui sont liés aux portails de mathématiques, géométrie ou… …   Wikipédia en Français

  • Produit de Cauchy — Pour les articles homonymes, voir Cauchy. En analyse, le produit de Cauchy est une opération portant sur certaines séries. Il permet de généraliser la propriété de distributivité. Son nom est un hommage à l analyste français Augustin Louis Cauchy …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”