Théorème de Mertens

Théorème de Mertens

En théorie des nombres, trois théorèmes de Mertens, démontrés en 1874 par Franz Mertens[1], sont reliés à la densité des nombres premiers. Un autre théorème de Mertens, en analyse, porte sur le produit de Cauchy de deux séries.

Dans ce qui suit, par convention, une indexation par p ≤ n ne porte que sur les nombres premiers p inférieurs à n.

Sommaire

Premier théorème

\forall n\ge1,~\left|\sum_{p\le n}\frac{\ln p}p-\ln n\right|<2.

La démonstration utilise la formule de Legendre sur les valuations p-adiques de n!.

Deuxième théorème

\lim_{n\to\infty}\left(\sum_{p\le n}\frac1p-\ln\ln n-M\right)=0,

où M est la constante de Meissel-Mertens.

Plus exactement Mertens montre que l'expression sous la limite n'excède pas en valeur absolue

\frac4{\ln(n+1)}+\frac2{n\ln n}\ \ (n\ge 2).


Troisième théorème

\lim_{n\to\infty}\prod_{p\le n}\left(1-\frac1p\right)\ln n=e^{-\gamma},

où γ est la constante d'Euler-Mascheroni.

Note et référence

  1. ↑ (de) F. Mertens, « Ein Beitrag zur analytischen Zahlentheorie », dans J. reine angew. Math., vol. 78, 1874, p. 46-62 

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