Theoreme de Mertens

Theoreme de Mertens

Théorème de Mertens

On désigne habituellement sous le nom de premier théorème de Mertens l'estimation suivante, où, par convention, une somme (ou un produit) indexée par p désigne une somme (ou un produit) ne portant que sur les nombres premiers. Pour tout réel x \geq 2, on a :

\sum_{p \leq x} \frac {\ln p}{p} = \ln x + O(1).

La démonstration utilise la formule de Legendre sur les valuations p-adiques de n!.

Le Second théorème de Mertens, appelé aussi formule de Mertens, stipule que, pour tout réel x \geq 2, on a :

\prod_{p \leq x} \left ( 1 - \frac {1}{p} \right ) = \frac {e^{-\gamma}}{\ln x} \left ( 1 + O \left ( \frac {1}{\ln x} \right ) \right ),

où \gamma \approx 0,577 215 664... est la constante d'Euler-Mascheroni.

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