Théorème de Laguerre

Théorème de Laguerre

En mathématiques, le théorème de Laguerre est un théorème d'analyse pour approcher les zéros d'un polynôme. Ce théorème doit son nom à Edmond Laguerre.

Théorème de Laguerre (cas réel)[1] —  Si \scriptstyle P(x) = \sum_{i=0}^n a_i x^i est un polynôme unitaire de degré n, ayant n racines réelles, alors ces racines sont toutes dans l'intervalle [u,v] où u et v sont les racines du polynôme

nx^2 + 2a_{n-1}x+\left(2(n-1)a_{n-2}-(n-2)a_{n-1}^2\right)

Ce théorème est un cas réel du théorème de Gauss-Lucas[Comment ?].

Théorème de Laguerre (cas complexe) —  Soit f(z) = zn + an − 1zn − 1 + ... + a0 un polynôme unitaire de degré n à coefficients complexes. Considérons un point z0 tel que \scriptstyle f'(z_0) \neq 0. Alors, il existe au moins une racine de f dans le disque fermé centré en z0 et de rayon \textstyle n\frac{|f(z_0)|}{|f'(z_0)|}

Démonstration

On peut supposer f(z_0)\ne0 et écrire f(z) sous la forme \textstyle f(z) = \prod_{k=1}^n (z-\zeta_k). On a alors :

f'(z_0) = \sum_{i=0}^n \displaystyle\prod_{j=0 \atop j\neq i}^n (z_0 - \zeta_j) = \sum_{k=0}^n\frac{f(z_0)}{z_0-\zeta_k}

Donc,

\frac{f'(z_0)}{f(z_0)} = \sum_{k=1}^n \frac{1}{z_0-\zeta_k}

Et il vient

\frac{|f'(z_0)|}{|f(z_0)|} \leq \sum_{k=1}^n \frac{1}{|z_0-\zeta_k|} \leq \frac{n}{\min_k |z_0-\zeta_k|},

Autrement dit,

\min_k |z_0-\zeta_k| \leq n \frac{|f(z_0)|}{|f'(z_0)|},

ce qui termine la preuve.

Note


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