Théorème de Lagrange sur les polynômes

Théorème de Lagrange sur les polynômes
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Il s'agit d'un résultat trouvé par le mathématicien Joseph-Louis Lagrange[réf. souhaitée] concernant les polynômes. Soit P un polynôme tel que:

P(x) = x^n+\sum_{i=0}^{n-1}{a_i x^i}

où les ai sont réels.

Alors si a est une racine de P, a vérifie

|a| \leq 1+\max(|a_0|,\ldots,|a_{n-1}|).

Ce théorème reste vrai si les ai et a sont complexes et l'inégalité est même stricte. Mieux : par le théorème de Rouché, le polynôme P admet n racines (comptées avec leurs multiplicités) dans le disque complexe ouvert de centre 0 et de rayon 1+\max(|a_0|,\ldots,|a_{n-1}|), ce qui fournit une preuve du théorème de d'Alembert-Gauss en plus de la majoration annoncée.

Pour un panorama sur ce type de résultats, voir l'article Théorie des équations (mathématiques).


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Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Théorème de Lagrange sur les polynômes de Wikipédia en français (auteurs)

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