Théorème de Gergonne

Théorème de Gergonne

Le théorème de Gergonne est le théorème de géométrie affine suivant :

Dans un plan affine, soient ABC un triangle non aplati, et A' , B' , C' trois points appartenant respectivement aux droites (BC), (CA) et (AB). Si les droites (AA' ), (BB' ) et (CC' ) sont concourantes en un point M, alors les mesures algébriques vérifient :

\frac{\overline{A'\,M}}{\overline{A'\,A}} + \frac{\overline{B'\,M}}{\overline{B'\,B}} + \frac{\overline{C'\,M}}{\overline{C'\,C}} = 1~.
Démonstration

Soient a, b, c (de somme 1) les coordonnées barycentriques du point M dans le repère affine (A,B,C) : M est égal à aA+bB+cC donc aussi, par associativité du barycentre, à (a+b)C'+cC, si bien que

\frac{\overline{C'\,M}}{\overline{C'\,C}}=c\ .

De même,

\frac{\overline{A'\,M}}{\overline{A'\,A}}=a\qquad\text{et}\qquad\frac{\overline{B'\,M}}{\overline{B'\,B}}=b\ ,

d'où le résultat, en additionnant les trois.


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Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Théorème de Gergonne de Wikipédia en français (auteurs)

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