Theoreme de Terquem

Theoreme de Terquem

Théorème de Terquem

Théorème dû à Olry Terquem :

Soit ABC un triangle, et trois céviennes concourantes du triangle. Le cercle passant par les pieds de ces céviennes détermine trois autres points sur les côtés du triangle. Ces trois autres points sont également les pieds de céviennes concourantes. Ces six points sont appelés points de Terquem.

Terquem.gif
Cévienne 
On appelle cévienne une droite d'un triangle issue d'un sommet et sécante avec le côté opposé.

Cas particuliers

Lorsque les céviennes sont confondues deux à deux, le cercle est inscrit dans le triangle qu'il touche aux trois points doubles; ces céviennes sont concourantes au point de Gergonne.


Lorsqu'un des triplés est formé par les médianes, l'autre l'est par les hauteurs ou réciproquement, on a alors le cercle d'Euler.

Démonstration

D'après le théorème de Céva, si les trois droites (AA'), (BB') et (CC') sont concourantes on a :

\frac{\overline{A'B}}{\overline{A'C}}\frac{\overline{B'C}}{\overline{B'A}}\frac{\overline{C'A}}{\overline{C'B}} = -1

La puissance du point A par rapport au cercle circonscrit à A'B'C' est

p = \overline{B'A} \times \overline{B_1A} = \overline{C'A} \times \overline{C_1A}

d'où les rapports égaux :

\frac{\overline{C'A}}{\overline{B'A}} = \frac{\overline{B_1A}}{\overline{C_1A}}

De même la puissance de B permet d'écrire

\frac{\overline{A'B}}{\overline{C'B}} = \frac{\overline{C_1B}}{\overline{A_1B}}

Enfin la puissance de C permet d'écrire

\frac{\overline{B'C}}{\overline{A'C}} = \frac{\overline{A_1C}}{\overline{B_1C}}

Le produit des trois rapports de gauche est égal à -1, d'où produit des rapports de droite est aussi égal à -1, et :

\frac{\overline{A_1C}}{\overline{A_1B}}\frac{\overline{B_1A}}{\overline{B_1C}}\frac{\overline{C_1B}}{\overline{C_1A}} = -1

D'après la réciproque du théorème de Céva, les trois droites (AA1), (BB1) et (CC1) sont concourantes.


  • Portail de la géométrie Portail de la géométrie
  • Portail des mathématiques Portail des mathématiques
Ce document provient de « Th%C3%A9or%C3%A8me de Terquem ».

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Theoreme de Terquem de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Нужна курсовая?

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Théorème de terquem — Théorème dû à Olry Terquem : Soit ABC un triangle, et trois céviennes concourantes du triangle. Le cercle passant par les pieds de ces céviennes détermine trois autres points sur les côtés du triangle. Ces trois autres points sont également… …   Wikipédia en Français

  • Théorème de Terquem — Sommaire 1 Cévienne 2 Triangle pédal 3 Théorème de Terquem 4 Cas particuliers 5 D …   Wikipédia en Français

  • Olry Terquem (mathématicien) — Pour les articles homonymes, voir Olry Terquem. Olry Terquem (né à Metz le 16 juin 1782, mort en 1862) est un mathématicien français. Biographie Il est ancien élève de Polytechnique (X1801). À partir de 1804, il est bibliothécaire au dépôt d… …   Wikipédia en Français

  • Теркем — Теркем, Олри Олри Теркем (фр. Olry Terquem; 16 июня 1782, Мец  6 мая 1862, Париж)  французский математик. Был основателем и издателем математических журналов Nouvelles Annales de Math é matiques (с 1842 года, совместно с К. К.… …   Википедия

  • Liste des articles de mathematiques — Projet:Mathématiques/Liste des articles de mathématiques Cette page recense les articles relatifs aux mathématiques, qui sont liés aux portails de mathématiques, géométrie ou probabilités et statistiques via l un des trois bandeaux suivants  …   Wikipédia en Français

  • Projet:Mathématiques/Liste des articles de mathématiques — Cette page n est plus mise à jour depuis l arrêt de DumZiBoT. Pour demander sa remise en service, faire une requête sur WP:RBOT Cette page recense les articles relatifs aux mathématiques, qui sont liés aux portails de mathématiques, géométrie ou… …   Wikipédia en Français

  • Теркем, Олри — Олри Теркем Olry Terquem Дата рождения: 16 июня 1782(1782 06 16) Место рождения: Мец Дата смерти: 6 мая …   Википедия

  • Олри Теркем — (фр. Olry Terquem; 16 июня 1782, Мец  6 мая 1862, Париж)  французский математик. Был основателем и издателем математических журналов Nouvelles Annales de Math é matiques (с 1842 года, совместно с К. К. Жероно)[1] и Bulletin de bibliographie,… …   Википедия

  • Liste Des Théorèmes — par ordre alphabétique. Pour l établissement de l ordre alphabétique, il a été convenu ce qui suit : Si le nom du théorème comprend des noms de mathématiciens ou de physiciens, on se base sur le premier nom propre cité. Si le nom du théorème …   Wikipédia en Français

  • Liste des theoremes — Liste des théorèmes Liste des théorèmes par ordre alphabétique. Pour l établissement de l ordre alphabétique, il a été convenu ce qui suit : Si le nom du théorème comprend des noms de mathématiciens ou de physiciens, on se base sur le… …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”