Test intégral de convergence

Test intégral de convergence

Comparaison série-intégrale

Les séries sont un procédé de sommation de grandeurs discrètes, l'intégrale de grandeurs continues. L'analogie formelle entre les deux domaines permet de faire passer des idées intéressantes de l'une à l'autre. La comparaison explicite d'une intégrale et d'une série associées permet par exemple d'utiliser l'une pour avoir des valeurs approchées de l'autre.

Sommaire

Comparaison formelle

A partir de la série numérique de terme général un, on fabrique une fonction constante par morceaux f, définie par f(x)=un pour x dans [n,n+1[.

Alors l'intégrale de f sur \mathbb{R}^+ et la série sont de même nature (toutes deux convergentes, ou toutes deux divergentes).

En ce sens la théorie des séries peut être vue comme un cas particulier de l'étude de la convergence des intégrales au voisinage de +\infty.

Il faut prendre garde cependant que les intégrales recèlent une gamme de comportements plus riches que les séries, ainsi

  • il est connu que si la série de terme général un converge, alors la suite de terme général un tend vers 0
  • a contrario, il existe des fonctions f d'intégrale convergente (voire absolument convergente) et telles que f ne tend pas vers 0. C'est le cas de l'intégrale de Fresnel par exemple.

Théorème de comparaison

On suppose cette fois que la série s'exprime sous une forme explicite un=f(n). Bien sûr si f « change trop » entre deux valeurs entières consécutives, il n'y a pas de raison qu'il y ait de lien entre série et intégrale.

On ajoutera donc des hypothèses de comportement sur f pour obtenir des résultats de comparaison positifs.

Pour fonctions monotones

Principe de base

Soit f telle que un+1=f(un). Si f est décroissante et continue sur l'intervalle [1, \infty[, alors on peut encadrer

\forall t \in [n,n+1], \qquad f(n+1)\leq f(t) \leq f(n) \qquad \hbox{ puis } 
f(n+1)\leq \int_n^{n+1} f(t) dt\leq f(n)

Encadrement qu'on peut renverser en un encadrement de un

\forall n >2, \qquad \int_n^{n+1} f(t) dt\leq u_n \leq \int_{n-1}^{n} f(t) dt

On peut sommer ces encadrements de façon à obtenir

  • Un encadrement de la suite des sommes partielles (attention au premier terme)
 \int_0^{N+1} f(t) dt\leq \sum_{n=0}^N u_n \leq u_0+ \int_{0}^{N} f(t) dt

Cet encadrement peut donner la limite ou un équivalent pour la suite des sommes partielles.

  • Le théorème de comparaison

Si f\, est une fonction positive décroissante continue sur l'intervalle [0, \infty[, alors la série \sum f(n) et l'intégrale \int_{0}^{\infty} f(x)\, dx sont de même nature, c'est-à-dire que la série est convergente si et seulement si l'intégrale est convergente.

  • En cas de convergence, un encadrement de la suite des restes
 \int_{N+1}^{+\infty}  f(t) dt\leq \sum_{n=N+1}^{+\infty} u_n \leq  \int_{N}^{+\infty} f(t) dt

De nouveau, cela peut donner un équivalent pour la suite des restes.

Formulation asymptotique

Les encadrements précédents permettent d'obtenir mieux qu'un simple équivalent : une relation asymptotique. On peut citer la célèbre formule d'Euler (qui concerne la série harmonique) à titre d'exemple

\sum_{n=1}^N\frac1n=\ln N+\gamma+o(1)

Ce qui suit explique comment l'obtenir, et généraliser l'étude à d'autres séries.

On se replace dans les hypothèses du théorème de comparaison série intégrale ci-dessus, mais on prend le taureau par les cornes en étudiant la différence

\Delta_n = u_n- \int_n^{n+1} f(t) dt

Celle-ci vérifie donc l'encadrement

0\leq \Delta_n \leq u_n-u_{n+1}

Ce qui montre que la série de terme général Δn est à termes positifs et majorée par une série à termes télescopiques, convergente. Donc la série de terme général Δn converge. On peut donc écrire

\sum_{n=0}^N u_n=\int_0^{N+1} f(t) dt+\sum_{n=0}^N \Delta_n=\int_0^{N+1} f(t) dt+\Delta + o(1)

Poursuite du développement asymptotique

On s'est contenté de dire que la série de terme général Δn convergeait. Pour aller plus loin, et estimer sa vitesse de convergence, on peut appliquer à cette même série la méthode de comparaison série intégrale : il nous faut d'abord un équivalent pour Δn

\Delta_n = \frac1n-\ln (n+1)+\ln n = \frac1n-\ln \left(1+\frac1n\right)\sim \frac1{2n^2}

On compare alors le reste de la série de terme général Δn avec l'intégrale de la fonction t \mapsto \frac1{2t^2} qui est encore continue positive décroissante

\int_{N}^{+\infty} \frac{dt}{2t^2} \leq \sum_{n=N+1}^{+\infty} \Delta_n = \Delta-\Delta _N\leq \int_{N+1}^{+\infty} \frac{dt}{2t^2}

Ce qui donne un développement de Δn qu'on peut reporter dans la formule d'Euler. On peut recommencer ensuite l'opération effectuée, en soustrayant de nouveau l'intégrale avec laquelle on vient de faire la comparaison. La méthode se poursuit jusqu'à obtenir un développement à l'ordre désiré. Par exemple

\sum_{k=1}^n \frac1k= \ln(n)+\gamma+\frac1{2n}-\frac1{12n^2}+\frac1{120n^4}-\frac1{252n^6}+\frac1{240n^8}-\frac1{132n^{10}}+
O\left(\frac1{n^{12}}\right)

Variantes

La comparaison série-intégrale peut donner du fruit même si toutes les hypothèses du théorème de comparaison ci-dessus ne sont pas réunies. On formera la même série Δn et on devra essayer d'en faire l'étude.

Une idée possible, si f est suffisamment régulière, est d'écrire Δn sous la forme suivante (par intégration par parties)

\Delta_n = \int_n^{n+1} (t-n) f'(t) dt

Par exemple si la fonction f' est intégrable, on peut obtenir un résultat. Intuitivement, la succès est lié au fait que f varie peu sur [n,n+1].

Cependant une méthode souvent plus féconde est de procéder directement sur la série de terme général un en lui appliquant une transformation d'Abel, qui est l'analogue discret de l'intégration par parties. Nous présentons cette analogie dans le prochain paragraphe.

On peut aussi souvent appliquer la puissante formule sommatoire d'Abel.

Dérivée, primitive, IPP

On peut poursuivre dans la voie de l'analogie série-intégrale. Sans prétention de fournir un énoncé rigoureux, il peut être bon de considérer les opérations suivantes comme « analogues en un certain sens ». Cela peut guider dans l'étude de problèmes d'analyse.


Fonction f Suite un
convergence de l'intégrale (en +\infty) convergence de la série
fonction dérivée suite un+1-un
équation différentielle suite récurrente
intégration par parties transformation d'Abel

Exemple : la série de terme général \frac{\sin n}{n}

La série n'est pas à termes positifs, les critères classiques ne nous aident guère. Mais par analogie avec l'étude de la convergence de \int_0^{+\infty} \frac{\sin t}{t} dt (qui se fait par intégration par parties), on procède à une transformation d'Abel :

\sum_{n=1}^N (\sin n).\frac{1}{n} =\frac1{N+1}(\sum_{k=1}^N \sin k)+  \sum_{n=1}^N \left(\sum_{k=1}^n \sin k\right)\left(\frac1{n}-\frac1{n+1}\right)

On notera qu'on retrouve même les « termes entre crochet » dans l'intégration par parties. Il reste à appliquer une identité trigonométrique (voir plus précisément noyau de Dirichlet) pour montrer que la suite de terme général \sum_{k=1}^N \sin k est bornée. Alors les théorèmes de comparaison s'appliquent et on obtient que la série de terme général \frac{\sin n}{n} converge.

Ce document provient de « Comparaison s%C3%A9rie-int%C3%A9grale ».

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Test intégral de convergence de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Поможем написать курсовую

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Convergence tests — In mathematics, convergence tests are methods of testing for the convergence, conditional convergence, absolute convergence, interval of convergence or divergence of an infinite series. Contents 1 List of tests 2 Comparison 3 Examples …   Wikipedia

  • Integral test for convergence — In mathematics, the integral test for convergence is a method used to test infinite series of non negative terms for convergence. An early form of the test of convergence was developed in India by Madhava in the 14th century, and by his followers …   Wikipedia

  • Convergence of Fourier series — In mathematics, the question of whether the Fourier series of a periodic function converges to the given function is researched by a field known as classical harmonic analysis, a branch of pure mathematics. Convergence is not necessarily a given… …   Wikipedia

  • Test t de Welch — En statistiques, le test t de Welch est une adaptation du test t de Student. Il peut être utilisé notamment pour tester statistiquement l’hypothèse d’égalité de deux moyennes avec deux échantillons de variances inégales. Il s agit en fait d une… …   Wikipédia en Français

  • Absolute convergence — In mathematics, a series (or sometimes also an integral) of numbers is said to converge absolutely if the sum (or integral) of the absolute value of the summand or integrand is finite. More precisely, a real or complex series is said to converge… …   Wikipedia

  • Uniform convergence — In the mathematical field of analysis, uniform convergence is a type of convergence stronger than pointwise convergence. A sequence {fn} of functions converges uniformly to a limiting function f if the speed of convergence of fn(x) to f(x) does… …   Wikipedia

  • Radius of convergence — In mathematics, the radius of convergence of a power series is a quantity, either a non negative real number or ∞, that represents a domain (within the radius) in which the series will converge. Within the radius of convergence, a power series… …   Wikipedia

  • Term test — In mathematics, the nth term test for divergence[1] is a simple test for the divergence of an infinite series: If or if the limit does not exist, then diverges. Many authors do not name this test or give it a shorter name.[2] Cont …   Wikipedia

  • Cauchy condensation test — In mathematics, the Cauchy condensation test is a standard convergence test for infinite series. For a positive monotone decreasing sequence f ( n ), the sum :sum {n=1}^{infty}f(n) converges if and only if the sum :sum {n=0}^{infty} 2^{n}f(2^{n}) …   Wikipedia

  • Cauchy's test — may refer to:* Cauchy s root test * Cauchy s condensation test * the integral test for convergence, sometimes known as the Maclaurin Cauchy test These topics are named after Augustin Louis Cauchy, a French mathematician.disambig …   Wikipedia

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”