Symetrie de Corinne

Symetrie de Corinne

Symétrie de Corinne

Sommaire

Définition et exemple

En mécanique, changer le temps t réel en temps i.t imaginaire pur, revient à changer la force \vec{F} en -\vec{F}, dans la loi de Newton (principe fondamental de la dynamique)[1] m\frac{\vec{d^{2}r}}{dt^{2}}=\vec{F}, passant ainsi par exemple d'une force attractive à une force répulsive et vice versa.

Démonstration: la transformation envisagée correspond au changement de variable t—> s=it dans la relation fondamentale de la dynamique. En utilisant la dérivée d'une fonction composée, il vient: \frac{\vec{dr}}{dt}=\frac{\vec{dr}}{ds}\frac{ds}{dt}=i\frac{\vec{dr}}{ds}, par suite en répétant: \frac{\vec{d^{2}r}}{dt^{2}}=\frac{d}{dt}\left (\frac{\vec{dr}}{dt}\right )=i\frac{d}{ds}\left (\frac{\vec{dr}}{ds}\right )\frac{ds}{dt}=-\frac{\vec{d^{2}r}}{ds^{2}}, d'où le résultat.

Aspects historique

Qui le premier a osé parler de temps imaginaire pur en gravité ?

Il existe des articles du début du XVIIIe, qui reprenant les expressions analytiques des trajectoires des planètes, et utilisant les travaux de de Moivre (1667-1754), reconnaissent le passage des cos(t) à des cosh(t),etc. et donc de l'ellipse attractive à l'hyperbole répulsive. Ces travaux sont sans doute antérieurs à ceux de Corinne (collaborateur de Clairaut ?). Cette symétrie est signalée par Appell (Traité de mécanique rationnelle) et par Whittaker (mechanics).

L'idée en tout cas est toute simple :

si  \ddot{z} = g ,
en posant t' = i t et en changeant g en - g , on retrouve la même équation.
Et de fait,  \ z = 1/2 g t^2 = -1/2 g (it)^2 par symétrie de Corinne.

Utilisations

On la voit utilisée dans des situations diverses :

  • par Appell pour les fonctions de Jacobi et le pendule pesant,
  • plus généralement pour comparer le mouvement dans un puits de potentiel à son symétrique, la barrière de potentiel
  • en particulier en mécanique quantique, le passage à travers une barrière finie carrée utilise la formule de l'interféromètre de Fabry-Pérot par prolongation analytique : de la formule en 1/ [1+F.sinφ] on passe naturellement à 1/[1+ F.shφ],
  • les calculs WKB et la fonction d'Airy ont aussi une symétrie de Corinne
  • bien sûr la formule approchée de la transmission tunnel: T = tt* = exp -[ 2πn(E)], où Wick utilise la symétrie de Corinne pour retrouver la formule de Gamow approchée.
  • En architecture, Antoni Gaudi, à Barcelone, va utiliser la symétrie de Corinne sans la connaître : la symétrique dans un miroir horizontal d'une chainette est évidemment la chainette renversée ; celle-ci réalise la voûte optimale qui ne nécessite aucun arc-boutant. D'où l'aspect fascinant de la Sagrada Família ou des combles de la Pedrera.


Notes et références de l'article

  1. Pour un point matériel soumis une seule force.

Voir aussi

Articles connexes

  • Chute avec résistance de l'air: temps de descente et temps de montée sont liés par cette symétrie
  • Puits de potentiel et barrière de potentiel: les mouvements s'y correspondent par cette symétrie
  • Pendule cycloïdal: les calculs se font jusqu'au bout pour un ovale formé de 2 cycloïdes opposées.
  • Pendule simple: Appell a fait remarquer que les relations entre sn(t) et sn( it) étaient des symétries de Corinne. Évidemment en aucun cas, cela ne démontre la double périodicité de sn(z), avec z variable complexe, car ici on se contente d'une transformation de fonction de variable réelle ( i.t est imaginaire pur).
  • Antoni Gaudi
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