Transformation t-it

Transformation t-it

Sommaire

Définition et exemple

En mécanique, changer le temps t réel en un terme i.t imaginaire pur, revient à changer la force \vec{F} en -\vec{F}, dans la loi de Newton (principe fondamental de la dynamique)[1]

m\frac{\vec{\mathrm d^{2}r}}{\mathrm dt^{2}}=\vec{F},

passant ainsi par exemple d'une force attractive à une force répulsive et vice versa.

Démonstration : la transformation envisagée correspond au changement de variable t \mapsto s=it dans la relation fondamentale de la dynamique. En utilisant la dérivée d'une fonction composée, il vient :

\frac{\vec{\mathrm dr}}{\mathrm dt}=\frac{\vec{\mathrm dr}}{\mathrm ds}\frac{\mathrm ds}{\mathrm dt}=i\frac{\vec{\mathrm dr}}{\mathrm ds},

par suite en répétant :

\frac{\vec{\mathrm d^{2}r}}{\mathrm dt^{2}}=\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\left (\frac{\vec{\mathrm dr}}{\mathrm dt}\right )=i\frac{\mathrm d}{\mathrm ds}\left (\frac{\vec{\mathrm dr}}{\mathrm ds}\right )\frac{\mathrm ds}{\mathrm dt}=-\frac{\vec{\mathrm d^{2}r}}{\mathrm ds^{2}},

d'où le résultat.

Aspects historiques

Il existe des articles du début du XVIIIe siècle, qui reprenant les expressions analytiques des trajectoires des planètes, et utilisant les travaux de de Moivre (1667-1754), reconnaissent le passage des cos(t) à des cosh(t), etc. et donc de l'ellipse attractive à l'hyperbole répulsive. Ces travaux sont sans doute antérieurs à ceux de Corinne (collaborateur de Clairaut ?). Cette symétrie est signalée par Appell (Traité de mécanique rationnelle) et par Whittaker (Mechanics).

L'idée en est :

si \ddot{z} = g,
en posant t' = it et en changeant g en − g, on retrouve la même équation.
Et de fait, z = gt2 / 2 = − 1 / 2g(it)2 par symétrie de Corinne.

Utilisations

On la voit utilisée dans des situations diverses :

  • par Appell pour les fonctions de Jacobi et le pendule pesant,
  • plus généralement pour comparer le mouvement dans un puits de potentiel à son symétrique, la barrière de potentiel
  • en particulier en mécanique quantique, le passage à travers une barrière finie carrée utilise la formule de l'interféromètre de Fabry-Pérot par prolongation analytique : de la formule en \tfrac 1{1+F\sin \varphi} on passe naturellement à \tfrac1{1+ F\sinh \varphi},
  • les calculs WKB et la fonction d'Airy ont aussi une symétrie de Corinne
  • bien sûr la formule approchée de la transmission tunnel : T = tt * = exp  − (2πn(E)), où Wick utilise la symétrie de Corinne pour retrouver la formule de Gamow approchée.
  • En architecture, Antoni Gaudí, à Barcelone, va utiliser la symétrie de Corinne sans la connaître : la symétrique dans un miroir horizontal d'une chaînette est la chaînette renversée ; celle-ci réalise la voûte optimale qui « ne nécessite aucun arc-boutant » (ne provoque aucun effort de flexion). D'où l'aspect fascinant de la Sagrada Família ou des combles de la Pedrera.

Notes et références de l'article

  1. ↑ Pour un point matériel soumis une seule force.

Voir aussi

Articles connexes

  • Chute avec résistance de l'air : temps de descente et temps de montée sont liés par cette symétrie
  • Puits de potentiel et barrière de potentiel : les mouvements s'y correspondent par cette symétrie
  • Pendule cycloïdal : les calculs se font jusqu'au bout pour un ovale formé de 2 cycloïdes opposées.
  • Pendule simple : Appell a fait remarquer que les relations entre sn(t) et sn(it) étaient des symétries de Corinne. Évidemment en aucun cas, cela ne démontre la double périodicité de sn(z), avec z variable complexe, car ici on se contente d'une transformation de fonction de variable réelle ( it est imaginaire pur).
  • Antoni Gaudí

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