Somme géométrique

Suite géométrique

En mathématiques, on appelle suite géométrique une suite $u$ définie sur $\{n \in \mathbb N, n \geq n_0\}$ à valeurs dans un corps E, et telle qu'il existe un élément $q$ de $\ E$ appelé raison pour lequel :

$\forall n \geq n_0 \ \ \ u_{n+1} =q.u_n \,$

On dit alors que les termes $\ u_n$ sont en « progression géométrique ».

Ces suites sont d'un réel intérêt pratique, dans de nombreux domaines. En pratique on s'occupe généralement de suites dans $E = \R$ ou $\mathbb C$ .

Exemple Si la raison $\ q=1,1$ et $\ u_0=10$ :

$\ u_1=11$
$\ u_2=12,1$
$\vdots$

Sommaire

1 Champ d'applications
2 Terme général
3 Sens de variation et convergence
- 3.1 Sens de variation
- 3.2 Convergence
4 Croissance comparée
5 Somme des termes

Champ d'applications

La suite géométrique est l'outil privilégié pour l'étude de phénomènes à croissance ou décroissance exponentielle, ou encore l'étude de populations dont la taille double ou diminue de moitié dans un intervalle de temps constant (période).

Exemple : Le carbone 14 ¹⁴C est un atome radioactif dont la période ou demi-vie est de T = 5730 ans (à 40 ans près). Cela signifie que, en cas de fermeture d'un système (fin des échanges avec le monde extérieur), la quantité de carbone 14 diminue de moitié tous les 5730 ans.

Si N est la quantité de ¹⁴C dans le système, au bout de T années (T = 5730 ans), il n'existe plus que N/2 atomes de ¹⁴C . Au bout de 2T, il n'y a plus que N/4 atomes. Au bout de 3T, il ne reste plus que N/8 atomes. Si on appelle

N n

la quantité d'atomes ¹⁴C au bout de n périodes, la suite (

N n

) est une suite géométrique de raison 1/2.

On la retrouve aussi dans le système bancaire avec le calcul des intérêts composés.

Exemple : Un capital

C 0

placé à 5% rapporte au bout d'un an $0,05 \times C_0$ d'intérêts. Ces intérêts ajoutés au capital nous donnent un nouveau capital $C_1 = 1,05\times C_0$ . En recommençant le processus chaque année, on crée une suite géométrique de raison 1,05 car $C_{n+1} = 1,05 \times C_n$ .

On la retrouve enfin, en musicologie, dans la suite des quintes (gamme pythagoricienne)

Elle est l'équivalent discret de la fonction exponentielle.

Terme général

Si $E$ est un corps et si $(u_n )_{n\in\mathbb N}$ est une suite géométrique de $E$ de raison $q\in E$ alors, pour tout $n\in\mathbb N$ :

$u_n = u_0 q^n\,$

Plus généralement, si la suite est définie sur $\{n \in \mathbb N, n \geq n_0\}$ et si n et p appartiennent à A et si q est non nul, alors :

$u_n = u_p q^{n - p} \,$

Une suite géométrique est donc entièrement déterminée par la donnée de son premier terme $u_{n_0}$ et par sa raison q.

Réciproquement, une suite définie sur $\{n \in \mathbb N, n \geq n_0\}$ par

$u_n = u_{n_0} q^{n - n_0} \,$

est une suite géométrique de raison q.

Sens de variation et convergence

On supposera $u_{n_0}$ et q non nul.

Sens de variation

Ce paragraphe concerne les suites géométriques à valeurs dans $\R$ .

si $q < 0\,$ la suite n'est pas monotone et oscille alternativement dans les nombres négatifs et positifs.
si
- si $u_{n_0}> 0$ la suite est décroissante positive
- si $u_{n_0}< 0$ la suite est croissante négative
si
- si $u_{n_0}> 0$ la suite est croissante positive
- si $u_{n_0}< 0$ la suite est décroissante négative
si $q = 1\,$ la suite est constante.

Convergence

Dans $\R$

si $q < -1\,$ , la suite diverge et ne possède pas de limite. Dans $\bar{\R}$ les valeurs d'adhérence sont $+ \infty$ et $-\infty$ .
si $q = - 1\,$ , la suite diverge et possède deux valeurs d'adhérence $u_{n_0}$ et - $u_{n_0}$
si $|q| < 1\,$ , la suite converge vers 0
si $q = 1\,$ , la suite est constante et converge vers $u_{n_0}$
si , la suite est divergente mais possède une limite égale à
- $+ \infty$ pour $u_{n_0}>0$
- $- \infty$ pour $u_{n_0}<0$

Dans $\mathbb{C}$

si $\left| q\right| <1$ , la suite converge vers 0.
si $\left| q\right| >1$ , la suite est divergente.
si $q = 1$ , la suite est constante et converge vers $u_{n_0}$ .
si $q \neq 1$ et $\left| q\right| = 1$ , la suite diverge.

Croissance comparée

Dans $\R$

On démontre que, pour tout entier n et tout réel t positif, $(1 + t )^n \geq 1 + nt$ ce qui permet de dire qu'une suite géométrique de raison 1 + t et de premier terme a croît plus vite qu'une suite arithmétique de raison at. Cependant, en pratique, pour des valeurs de t petite et des valeurs de n raisonnables les deux suites sont quasiment confondues. Cette approximation se justifie mathématiquement, pour t tendant vers 0, par un Équivalent (voir aussi Développement limité) et se note $(1 + t) n$ ~ $1 + n t$ (équivalent) ou $(1 + t) n = 1 + t n + o (n)$ (développement limité sur t à l'ordre 1 en 0)

Illustration a = 1000 et t = 0,004, at = 4

n	suite arithmétique	suite géométrique
0	1000	1000
1	1004	1004
2	1008	1008,016
3	1012	1012,048
4	1016	1016,1
5	1020	1020,2
6	1024	1024,2
7	1028	1028,3
8	1032	1032,5
9	1036	1036,6
10	1040	1040,7
11	1044	1044,9
12	1048	1049

Cette approximation permet aux banques de présenter (dans le cadre de taux d'intérêt faibles) pour le taux mensuel, le taux annuel divisé par 12 au lieu de prendre $\sqrt[12]{1+t}-1$

Somme des termes

La valeur de la somme des termes d'une suite géométrique est démontrée dans le Livre IX des Éléments d'Euclide.

Si $E = \R$ ou $\mathbb C$ et si $(u_n )_{n\in\mathbb N}$ est une suite géométrique de raison q de $E$ alors, pour tout $n\in\mathbb N$ :

$\sum_{p=m}^{p=n}u_p= \dfrac{u_m - u_{n+1}}{1 - q} = u_0\,q^m\,\dfrac{1 - q^{n+1-m}}{1 - q}$ pour q différent de 1

$\sum_{p=m}^{p=n}u_p= (n-m+1) \, u_0$ pour q = 1

Voir série géométrique, somme des premiers termes

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