Somme de riemann

Somme de riemann

Somme de Riemann

Les sommes de Riemann sont une méthode d'approximation des intégrales. Elles peuvent être utilisées pour définir la notion d'intégrale. Leur nom vient du mathématicien allemand Bernhard Riemann.

Sommaire

Définition

Soit f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R} une fonction continue sur le segment [a,b]. On considère n\in\mathbb{N}^* et une subdivision régulière x_k=a+k\frac{b-a}{n}, avec 0\leq k\leq n.

La somme de Riemann associée à f est alors :

S_n=\frac{b-a}{n}\sum_{k=1}^nf(x_k)=\sum_{k=1}^n(x_k-x_{k-1})f(x_k)

Application

Les sommes de Riemann sont utilisées pour le calcul des intégrales par la méthode des rectangles. En effet :

\lim_{n\rightarrow+\infty}S_n=\int_a^bf(t)dt
Démonstration

Par définition de l'intégrale, on a : (x_k-x_{k-1})f(x_k)=\int_{x_{k-1}}^{x_k}f(x_k)dt d'où (x_k-x_{k-1})f(x_k)-\int_{x_{k-1}}^{x_k}f(t).dt=\int_{x_{k-1}}^{x_k}(f(x_k)-f(t)).dt

En sommant pour k\in\{1,\cdots,n\}, on obtient : S_n-\int_a^bf(t)dt=\sum_{k=1}^n\int_{x_{k-1}}^{x_k}(f(x_k)-f(t)).dt d'où |S_n-\int_a^bf(t)dt|\leq \sum_{k=1}^n\int_{x_{k-1}}^{x_k}|f(x_k)-f(t)|dt

Soit ε > 0. Par le théorème de Heine, f est uniformément continue sur le segment [a,b], il existe donc α > 0 tel que \forall(x,t)\in[a,b]^2|x-t|\leq\alpha\Rightarrow |f(x)-f(t)|\leq\frac{\epsilon}{b-a}.

On considère la relation pour n assez grand, de sorte que \frac{b-a}{n}\leq\alpha. Ainsi \forall t \in[x_{k-1};x_k] |x_k-t|\leq \frac{b-a}{n}\leq \alpha, d'où |S_n-\int_a^bf(t)dt|\leq \int_a^b\frac{\epsilon}{b-a}=\epsilon.

Extensions

  • On peut considérer S_n=\frac{b-a}{n}\sum_{k=0}^nf(x_k) car \lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{b-a}{n}f(x_0)=0 (une seule valeur ne change pas le résultat).
  • On peut aussi étendre la propriété précédente aux cas de subdivisions \sigma=(x_0,x_1,\cdots,x_n) quelconques. Dans ce cas, on note S_\sigma=\sum_{k=1}^n(x_k-x_{k-1})f(\theta_k) où \theta_k\in[x_{k-1},x_k]. On note \Delta(\sigma)=\max_{1\leq k\leq n}(x_k-x_{k-1}) le pas de la subdivision. Donc, avec les notations précédentes, si \Delta(\sigma)\leq\alpha, alors : |S_\sigma-\int_a^bf(t)dt|\leq\epsilon, relation à la source de la définition de l'intégrale de Riemann.
  • Si, au lieu de majorer le pas xk − xk − 1 par une constante Δ, on le majore par une quantité δ(tk) où tk est un point de xk − xk − 1 et δ une fonction strictement positive, on remplace l'intégrale de Riemann par l'intégrale de Kurzweil-Henstock.


Voir aussi


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