- Sinc
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Sinus cardinal
Sommaire
Définitions
En mathématiques, la fonction sinus cardinal est définie par :
- (définition 1)
où sin désigne la fonction sinus.
Comme souvent en mathématiques, il existe une autre définition couramment utilisée :
- (définition 2)
Quand une confusion pourra être possible, on notera par la suite (resp. ) la première (et respectivement la seconde) version de la fonction. La seconde est parfois nommée sinus cardinal normalisé.
Propriétés
Propriétés élémentaires
La valeur en zéro semble de prime abord non définie, mais le calcul de limite est possible : on reconnaît en
un taux d'accroissement pour la fonction sinus, dont la limite en 0 est la dérivée du sinus en 0, égale à cos(0) = 1.
Les zéros de la fonction sont atteints en (première définition) ou (seconde définition)
Abscisses et valeurs des extrema x 0 0 1 1 0 4.493409 1.430297 -0.217234 0.047190 -13.261459 7.725252 2.459024 0.128375 0.016480 -17.830421 10.904122 3.470890 -0.091325 0.008340 -20.788187 14.066194 4.477409 0.070913 0.005029 -22.985427 17.220755 5.481537 -0.057972 0.003361 -24.735664 20.371303 6.484387 0.049030 0.002404 -26.190829 23.519452 7.486474 -0.042480 0.001805 -27.436388 26.666054 8.488069 0.037475 0.001404 -28.525278 29.811599 9.489327 -0.033525 0.001124 -29.492589 32.956389 10.490344 0.030329 0.000920 -30.362789 36.100622 11.491185 -0.027690 0.000767 -31.153625 39.244432 12.491891 0.025473 0.000649 -31.878380 42.387914 13.492492 -0.023585 0.000556 -32.547257 La valeur où le carré de vaut 0,5 est atteinte pour x = +/- 1.39156 environ (ce qui permet de définir la largeur de la bande passante à -3 dB en puissance, de la fonction)
Résultats de calcul infinitésimal
La fonction est développable en série entière sur la droite réelle
De là vient que le sinus cardinal est indéfiniment dérivable sur . Il peut même être étendu en une fonction holomorphe sur tout le plan complexe, en employant la formule précédente pour tout x complexe.
Les primitives de la fonction sinus cardinal ne peuvent être calculées à l'aide des fonctions élémentaires. Il est habituel de définir une fonction spéciale, la fonction sinus intégral comme la primitive du sinus cardinal nulle en 0
On démontre que l'intégrale converge. Il s'agit de l'intégrale de Dirichlet, valant π / 2. Cependant la fonction sinus cardinal n'est pas intégrable sur au sens de Lebesgue (ni d'ailleurs à aucun autre sens, pas même à celui de l'intégrale de jauge), car la convergence n'est pas absolue ; en d'autres termes, on a .
Transformée de Fourier
La transformée de Fourier du sinus cardinal est la fonction porte:
où la fonction porte est définie de la manière suivante :
- .
La transformée de Fourier de la fonction porte telle que définie ci-dessus est également un sinus cardinal:
- .
Utilisation et applications
- Étant donné que la transformée de Fourier de la fonction porte est très couramment utilisée, le sinus cardinal est forcément très utilisé aussi, notamment en physique ondulatoire (car tous les phénomènes de diffraction sont traités par transformée de Fourier) ainsi qu'en Traitement numérique du signal. En particulier, le sinus cardinal est fréquemment rencontré en théorie des antennes, en acoustique, en radar, pour la diffraction par une fente, etc.
- On utilise également souvent le carré du sinus cardinal, car celui-ci donne l'intensité ou la puissance du signal dont l'amplitude est en sinus cardinal. Souvent, on cherchera à réduire l'influence des maxima secondaires du module (qui donne lieu à des lobes secondaires indésirables).
- Étant donné que les valeurs décroissent rapidement, le carré de la fonction sinus cardinal est souvent représenté en échelle logarithmique.
Voir aussi
Articles connexes
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