- Règles de Bioche
-
En mathématiques, et plus précisément en analyse, les règles de Bioche sont des règles de changement de variable dans le calcul d'intégrales comportant des fonctions trigonométriques.
Sommaire
Les règles et leur justification
Ces règles ont été formulées par Charles Bioche lorsqu'il était professeur en mathématiques spéciales au lycée Louis-le-Grand. Dans la suite, f(t) est une expression rationnelle en sin(t) et cos(t), c'est-à-dire une expression obtenue à l'aide de sin(t), cos(t), des nombres réels et les quatre opérations
; on peut encore écrire 
, où P et Q sont des polynômes à deux variables, à coefficients réels.Ainsi, pour calculer
,on forme l'intégrande : ω(t) = f(t)dt. Ensuite,
- Si ω( − t) = ω(t), un changement de variable judicieux est u(t) = cos(t).
- Si ω(π − t) = ω(t), un changement de variable judicieux est u(t) = sin(t).
- Si ω(π + t) = ω(t), un changement de variable judicieux est u(t) = tan(t).
- Si 2 des 3 relations précédentes sont vraies (dans ce cas les 3 relations sont vraies), un changement de variable judicieux est u(t) = cos(2t).
- Dans les autres cas, le changement de variable u(t) = tan(t / 2) s'avère souvent judicieux. On se réferera à ce sujet à l'article sur les formules trigonométriques impliquant la tangente de l'arc moitié
D'un point de vue mnémotechnique, ces règles sont peut-être plus simples à retenir sous cette forme, mais on les trouve souvent exposées plutôt par rapport à f, ce qui donne respectivement pour les deux premières : « si f est impaire, utiliser x =cos t » et « si f est telle que f(π - t) = -f(t), utiliser x = sin t ».
Ces règles peuvent en fait être énoncées comme un théorème : on démontre que le changement de variable proposé conduit (si la règle s'applique et si f est bien de la forme
) à l'intégration d'une fraction rationnelle en t, qui se calcule aisément par décomposition en éléments simples.Exemples d’utilisation
- Soit l'intégrale
.
Ceci car d( − t) = − dt et sin est impaire et cos paire.
Alors d'après la règle de Bioche, le meilleur changement de variable est u = cos(t).
- Soit l'intégrale
.
Ceci car d(π + t) = dt et cos(π + t) = − cos(t) et tan(π + t) = tan(t).
Alors d'après la règle de Bioche, le changement de variable le plus approprié est u = tan(t).
Une fois le changement de variable effectué, ces deux intégrales peuvent être calculées plus facilement car elles comportent des fonctions que l'on sait intégrer.
- On évitera d'employer cette règle pour le calcul d'intégrale comme
, dont l'intégration se fait directement via les formules de dérivations :
; 
et les identités trigonométriques 
; 
...Cas des polynômes
Pour calculer l'intégrale
, la règle de Bioche s'applique également.- Si p et q sont impairs, on emploie u = cos 2t ;
- Si p est impair et q pair, on emploie u = cos t ;
- Si p est pair et q impair, on emploie u = sin t ;
- Sinon, on en est réduit à linéariser.
Autre version : fonctions hyperboliques
Soit à calculer
.Si les règles de Bioche suggèrent de calculer
par u = cos(t) (resp. sin(t), tan(t), cos(2t), tan(t / 2)) un changement de variable judicieux pour la première intégrale est u = cosh(t) (resp. sinh(t), tanh(t), cosh(2t), tanh(t / 2)). Dans tous les cas, le changement de variable u = et permet de se ramener à une primitive de fraction rationnelle, ce dernier changement de variable étant plus intéressant dans le quatrième cas (u = tanh(t / 2)).
Voir aussi
Catégorie :- Méthode d'intégration
Wikimedia Foundation. 2010.
