Représentation de Dirac

Matrice de Dirac

Les matrices de Dirac sont des matrices qui furent introduites par Paul Dirac, lors de la recherche d'une équation d'onde relativiste de l'électron.

Sommaire

1 Intérêt
2 Matrices de Dirac
3 Le slash de Feynman
4 Représentations
5 Bibliographie

Intérêt

La généralisation naturelle de l'équation de Schrödinger est l'équation de Klein-Gordon. Malheureusement, celle-ci décrit des particules de spin 0 et ne convient pas pour les électrons qui sont de spin 1/2. Dirac essaya alors de trouver une équation linéaire comme celle de Schrödinger sous la forme :

$i \frac{\partial \psi}{\partial t} = \left(\frac{1}{i}\mathbf{\alpha}\cdot\nabla+\beta m\right)\psi\equiv H\psi$

où $ψ$ est une fonction d'onde vectorielle, $m$ la masse de la particule, $H$ l'hamiltonien et $\mathbf{\alpha},\beta$ sont respectivement un vecteur de matrices hermitiques et une matrice hermitique. L'équation de Dirac doit respecter les trois points suivants :

Les composantes de $ψ$ doivent satisfaire l'équation de Klein-Gordon, une onde plane dont une solution est :

$E^2=\mathbf{p}^2+m^2$
Il existe un quadrivecteur densité de courant qui est conservé et dont la composante temporelle est une densité positive (identifiée avec la charge électrique).
Les composantes de $ψ$ ne doivent satisfaire aucune condition auxiliaire, c’est-à-dire qu'à un instant donné elles sont des fonctions indépendantes de $x$ .

Matrices de Dirac

Dirac proposa que les matrices hermitiques soient anticommutantes et de carré égal à un. C’est-à-dire qu'elles obéissent à l'algèbre suivante :

$\left\{\alpha_i,\alpha_k\right\}=0\ i\ne k$

$\left\{\alpha_i,\beta\right\}=0$

$\alpha_i^2:\beta^2=I$

où les crochets sont l'anticommutateur $\left\{A,B\right\}=AB+BA$ .

En élevant l'équation de Dirac au carré, on vérifie immédiatement que la première condition est satisfaite. On introduit ensuite les matrices de Dirac $γ μ$ proprement dites :

γ 0 = β

$\gamma^i=\beta\alpha^i\ i=1,2,3$

$\left\{\gamma^\mu,\gamma^\nu\right\}=2g^{\mu\nu}$

Le slash de Feynman

On introduit aussi le « slash » de Feynman :

$\not\! a \equiv a_\mu\gamma^\mu$

L'équation de Dirac prend alors la forme :

$\left(i\gamma^\mu\partial_\mu-m\right)\psi\equiv\left(i\not\!\partial-m\right)\psi=0$

Une représentation explicite, dite « représentation standard », est donnée par :

$\gamma^0=\begin{pmatrix}I & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & -I \end{pmatrix}$

$\gamma^i=\begin{pmatrix}\mathbf{0} & \sigma^i \\ -\sigma^i & \mathbf{0}\end{pmatrix}$

$\beta=\begin{pmatrix}I & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & -I \end{pmatrix}$

$\alpha^i=\begin{pmatrix}\mathbf{0} & \sigma^i \\ \sigma^i & \mathbf{0}\end{pmatrix}$

où $I$ est la matrice unité 2×2 et $σ i$ sont les matrices de Pauli.

Cette représentation est particulièrement pratique car elle met en évidence le caractère spinoriel (dû au spin demi-entier) de la fonction d'onde de l'électron et elle sépare les composantes d'énergie positive et négative. Ainsi, en écrivant la fonction d'onde comme un bispineur :

$\psi=\begin{pmatrix}\phi \\ \chi\end{pmatrix}$

où $φ$ et $χ$ sont deux spineurs, l'équation de Dirac devient :

$i \frac{\partial \phi}{\partial t}=m\phi+\frac{1}{i}\mathbf{\sigma}\cdot\nabla\chi$

$i \frac{\partial \chi}{\partial t}=-m\chi+\frac{1}{i}\mathbf{\sigma}\cdot\nabla\phi$

En introduisant la fonction d'onde conjuguée comme :

$\bar\psi=\psi^\dagger\gamma^0$

On trouve :

$\bar\psi\left(i\overleftarrow{\not\!\partial}\right)=0$

Et avec l'équation de Dirac, cela donne :

$\bar\psi\left(\overleftarrow{\not\!\partial}+\overrightarrow{\not\!\partial}\right)\equiv\partial_\mu\left(\bar\psi\gamma^\mu\psi\right)=0$

Ce qui donne un courant conservé :

$j^\mu=\bar\psi\gamma^\mu\psi$

Dont la composante temporelle $j^0=\rho=\bar\psi\gamma^0\psi=\psi^\dagger\psi$ est positive. On définit aussi la matrice :

γ 5 = γ 0 γ 1 γ 2 γ 3

L'utilisation de $γ 5$ permet ainsi de construire différents types de combinaisons tel que :

des vecteurs : $\bar\psi\gamma^\mu\psi$

des pseudovecteurs : $\bar\psi\gamma^5\gamma^\mu\psi$

des scalaires : $\bar\psi\psi$

des pseudoscalaires : $\bar\psi\gamma^5\psi$

On vérifie aisément la covariance relativiste de tout ce formalisme.

Représentations

Les matrices de Dirac sont totalement déterminées par la relation :

γ μ γ ν + γ ν γ μ = 2η μν

où $η μν$ est le tenseur de Minkowski. On a aussi $γ μ γ μ = 4$ .
Il existe une infinité de solutions possibles à la relation précédente. Pour des matrices 4×4, l'ensemble des solutions est une $\, \Complex-$ algèbre de dimension 4, une algèbre de Clifford notée $\, Cl_{1,3}\Complex \,$ , et les quatre matrices de Dirac en forment une base. Suivant la base choisie les matrices de Dirac ont des coefficients différents, et ce choix s'appelle une représentation des matrices de Dirac.

Représentation de Dirac

C'est la « représentation standard ».

Représentation de Weyl

Représentation de Majorana

La représentation de Majorana est obtenue à partir de la « représentation standard » en échangeant $α 2$ et $β$ et en changeant le signe de $α 1$ et $α 3$ . Elle a la propriété intéressante de rendre l'équation de Dirac réelle dont les solutions sont des combinaisons de solutions réelles.

Représentation chirale

$\gamma^0=\beta=\begin{pmatrix}\mathbf{0} & -I \\ -I & \mathbf{0}\end{pmatrix}$

$\mathbf{\alpha}=\begin{pmatrix}\mathbf{\sigma} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & -\mathbf{\sigma}\end{pmatrix}$

$\mathbf{\gamma}=\begin{pmatrix}\mathbf{0} & \mathbf{\sigma} \\ -\mathbf{\sigma} & \mathbf{0}\end{pmatrix}$

Son avantage est que les deux spineurs se transforment indépendamment sous les rotations et les translations. Elle est particulièrement utile pour des particules sans masse, les équations se simplifiant considérablement. Elle a été utilisée pour le neutrino bien que l'on sache maintenant que celui-ci possède une masse extrêmement petite mais non nulle.

Bibliographie

Lev Landau et Evguéni Lifchitz, Physique théorique, tome 4 : Électrodynamique quantique, éd. MIR, Moscou [détail des éditions]
C.Itzykson, J.B.Zuber Quantum Field Theory
N.Nelipa Physique des particules élémentaires

Portail de la physique

Ce document provient de « Matrice de Dirac ».

Catégorie : Physique théorique

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Représentation de Dirac de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Поможем сделать НИР

Regardez d'autres dictionnaires:

Representation d'interaction — Représentation d interaction La représentation d interaction ou représentation de Dirac de la mécanique quantique est une manière de traiter les problèmes dépendant du temps. Sommaire 1 Condition d application de la représentation d interaction 2 … Wikipédia en Français
Représentation de Majorana — Matrice de Dirac Les matrices de Dirac sont des matrices qui furent introduites par Paul Dirac, lors de la recherche d une équation d onde relativiste de l électron. Sommaire 1 Intérêt 2 Matrices de Dirac 3 Le slash de Feynman … Wikipédia en Français
Représentation de Weyl — Matrice de Dirac Les matrices de Dirac sont des matrices qui furent introduites par Paul Dirac, lors de la recherche d une équation d onde relativiste de l électron. Sommaire 1 Intérêt 2 Matrices de Dirac 3 Le slash de Feynman … Wikipédia en Français
Représentation des matrices de Dirac — Matrice de Dirac Les matrices de Dirac sont des matrices qui furent introduites par Paul Dirac, lors de la recherche d une équation d onde relativiste de l électron. Sommaire 1 Intérêt 2 Matrices de Dirac 3 Le slash de Feynman … Wikipédia en Français
Représentation d'interaction — La représentation d interaction ou représentation de Dirac de la mécanique quantique est une manière de traiter les problèmes dépendant du temps. Sommaire 1 Condition d application de la représentation d interaction 2 Propagateurs 3 Définiti … Wikipédia en Français
DIRAC (P.) — Le physicien anglais Dirac est l’une des plus illustres personnalités scientifiques de notre époque. Sa formulation des lois fondamentales de la mécanique quantique et sa découverte de l’équation relativiste de l’électron le placent au même rang… … Encyclopédie Universelle
Representation des algebres de Clifford — Représentation des algèbres de Clifford En mathématiques, les représentations des algèbres de Clifford sont aussi connues sous le nom modules de Clifford. En général, une algèbre de Clifford C est une algèbre centrale simple sur une certaine… … Wikipédia en Français
Représentation des algèbres de clifford — En mathématiques, les représentations des algèbres de Clifford sont aussi connues sous le nom modules de Clifford. En général, une algèbre de Clifford C est une algèbre centrale simple sur une certaine extension de corps L d un corps K sur lequel … Wikipédia en Français
Representation de Heisenberg — Représentation de Heisenberg En mécanique quantique, la représentation de Heisenberg est une des trois formulations et modes de traitement des problèmes dépendants du temps dans le cadre de la mécanique quantique classique. Dans cette… … Wikipédia en Français
Représentation de heisenberg — En mécanique quantique, la représentation de Heisenberg est une des trois formulations et modes de traitement des problèmes dépendants du temps dans le cadre de la mécanique quantique classique. Dans cette représentation, les opérateurs du… … Wikipédia en Français

Dictionnaires et Encyclopédies sur 'Academic'

Représentation de Dirac

Matrice de Dirac

Sommaire

Intérêt

Matrices de Dirac

Le slash de Feynman