Relation réflexive

Relation réflexive
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En théorie des ensembles, une relation binaire peut avoir, entre autres deux propriétés, la réflexivité et l'irréflexivité.

  • Une relation réflexive R de l'ensemble X est une relation pour laquelle pour tout a de X, a est R-relié à lui-même. En notation mathématique, cela s'écrit :
\forall a \in X,\ a R a
  • Une relation irréflexive est une relation pour laquelle pour tout a de X, a n'est jamais R-relié à lui-même.

En notation mathématique, cela s'écrit :

\forall a \in X,\ \lnot (a R a).

Note: Irréflexivité est une condition plus forte que l'absence de réflexivité. Donc une relation peut être réflexive, irréflexive ou ni l'une ni l'autre. Les inégalités "strictement inférieur à" ou "strictement supérieur à" sont des relations irréflexives. Mais, si nous définissons une relation R sur les entiers telle que a R b si et seulement si a = -b, alors elle n'est ni réflexive, ni irréflexive, car 0 est le seul élément relié à lui-même.

Propriétés contenant la propriété réflexive

Préordre - Une relation réflexive qui est aussi transitive. Les différents types de préordres et de relations d'équivalence sont donc aussi réflexifs.

Exemples

Quelques exemples de relations réflexives:

  • "est égal à " (égalité)
  • "est un sous-ensemble de" (inclusion d'ensembles)
  • "est plus grand que ou égal à": \geq
  • "est plus petit que ou égal à": \leq

Quelques exemples de relations irréflexives:

  • "n'est pas égal à": \neq
  • "est copremier à"
  • "est strictement plus grand que": \displaystyle >

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