Rapport de Riesz

Rapport de Riesz

Rapport de Riesz

En mathématiques, le rapport de Riesz est un certain rapport d'une série arithmétique. Ils ont été introduits par Marcel Riesz en 1911 comme une amélioration de la moyenne de Cesàro[1],[2]. Le rapport de Riesz ne doit pas être confondu avec le rapport de Bochner-Riesz ou le rapport de Strong-Riesz.

Définition

Soit une séries {sn} donnée, le rapport de Riesz de la série est défini par

s^\delta(\lambda) = \sum_{n\le \lambda} \left(1-\frac{n}{\lambda}\right)^\delta s_n

Quelque fois, un rapport de Riesz généralisé est défini par

R_n = \frac{1}{\lambda_n} \sum_{k=0}^n (\lambda_k-\lambda_{k-1})^\delta s_k

Ici, les \lambda_n\, sont une suite avec \lambda_n\to\infty\, et avec \lambda_{n+1}/\lambda_n\to 1\, comme n\to\infty\,. À part cela, les \lambda_n\, sont pris arbitrairement.

Les rapports de Riesz sont souvent utilisés pour explorer la sommabilité de suites; les théorèmes typiques de sommabilité discutent du cas de s_n = \sum_{k=0}^n a_n\, pour certaines suites \{a_n\}\,. Typiquement, une suite est sommable lorsque la limite \lim_{n\to\infty} R_n\, existe, ou la limite \lim_{\delta\to 1,\lambda\to\infty}s^\delta(\lambda)\, existe, néanmoins, les théorèmes de sommabilité précis en question imposent souvent des conditions supplémentaires.

Cas particuliers

Soit an = 1 quel que soit n. Alors

\sum_{n\le \lambda} \left(1-\frac{n}{\lambda}\right)^\delta = \frac{1}{2\pi i} \int_{c-i\infty}^{c+i\infty} \frac{\Gamma(1+\delta)\Gamma(s)}{\Gamma(1+\delta+s)} \zeta(s) \lambda^s ds = \frac{\lambda}{1+\delta} + \sum_n b_n \lambda^{-n}

Ici, on doit prendre c>1\,; \Gamma(s)\, est la fonction gamma et \zeta(s)\, est la fonction zeta de Riemann. La série de puissances \sum_n b_n \lambda^{-n}\, peut être montrée convergente pour \lambda > 1\,. Notez que l'intégrale est de la forme de la transformation de Mellin inverse.

Un autre cas intéressant relié à la théorie des nombres survient en prenant a_n=\Lambda(n)\, où \Lambda(n)\, est la fonction de von Mangoldt. Alors

\sum_{n\le \lambda} \left(1-\frac{n}{\lambda}\right)^\delta \Lambda(n) = - \frac{1}{2\pi i} \int_{c-i\infty}^{c+i\infty} \frac{\Gamma(1+\delta)\Gamma(s)}{\Gamma(1+\delta+s)} \frac{\zeta^\prime(s)}{\zeta(s)} \lambda^s ds = \frac{\lambda}{1+\delta} + \sum_\rho \frac {\Gamma(1+\delta)\Gamma(\rho)}{\Gamma(1+\delta+\rho)} +\sum_n c_n \lambda^{-n}

De nouveau, on doit prendre c>1\,. La somme sur \rho\, est la somme sur les zéros de la fonction zeta de Riemann, et \sum_n c_n \lambda^{-n}\, est convergent pour \lambda > 1\,.

Les intégrales qui apparaissent ici sont similaires à l'intégrale de Nörlund-Rice ; très grossièrement, elles peuvent être reliées à cette intégrale par la formule de Perron.

Références

  1. ↑ M. Riesz, Comptes Rendus, 12 juin 1911
  2. ↑ G.H. Hardy and J.E. Littlewood, "Contributions to the Theory of the Riemann Zeta-Function and the Theory of the Distribution of Primes", Acta Mathematica, 41(1916) pp.119-196.
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