Rapport de Riesz

Rapport de Riesz

Rapport de Riesz

En mathématiques, le rapport de Riesz est un certain rapport d'une série arithmétique. Ils ont été introduits par Marcel Riesz en 1911 comme une amélioration de la moyenne de Cesàro[1],[2]. Le rapport de Riesz ne doit pas être confondu avec le rapport de Bochner-Riesz ou le rapport de Strong-Riesz.

Définition

Soit une séries {sn} donnée, le rapport de Riesz de la série est défini par

s^\delta(\lambda) = \sum_{n\le \lambda} \left(1-\frac{n}{\lambda}\right)^\delta s_n

Quelque fois, un rapport de Riesz généralisé est défini par

R_n = \frac{1}{\lambda_n} \sum_{k=0}^n (\lambda_k-\lambda_{k-1})^\delta s_k

Ici, les \lambda_n\, sont une suite avec \lambda_n\to\infty\, et avec \lambda_{n+1}/\lambda_n\to 1\, comme n\to\infty\,. À part cela, les \lambda_n\, sont pris arbitrairement.

Les rapports de Riesz sont souvent utilisés pour explorer la sommabilité de suites; les théorèmes typiques de sommabilité discutent du cas de s_n = \sum_{k=0}^n a_n\, pour certaines suites \{a_n\}\,. Typiquement, une suite est sommable lorsque la limite \lim_{n\to\infty} R_n\, existe, ou la limite \lim_{\delta\to 1,\lambda\to\infty}s^\delta(\lambda)\, existe, néanmoins, les théorèmes de sommabilité précis en question imposent souvent des conditions supplémentaires.

Cas particuliers

Soit an = 1 quel que soit n. Alors

\sum_{n\le \lambda} \left(1-\frac{n}{\lambda}\right)^\delta = \frac{1}{2\pi i} \int_{c-i\infty}^{c+i\infty} \frac{\Gamma(1+\delta)\Gamma(s)}{\Gamma(1+\delta+s)} \zeta(s) \lambda^s ds = \frac{\lambda}{1+\delta} + \sum_n b_n \lambda^{-n}

Ici, on doit prendre c><span class=1\," style="max-width : 98%; height: auto; width: auto;" src="/pictures/frwiki/49/135892b63f7b2009e71fd1b274ffba9e.png" border="0">; \Gamma(s)\, est la fonction gamma et \zeta(s)\, est la fonction zeta de Riemann. La série de puissances \sum_n b_n \lambda^{-n}\, peut être montrée convergente pour \lambda > <span class=1\," style="max-width : 98%; height: auto; width: auto;" src="/pictures/frwiki/102/faf3a6b51cb061636fd5f8dd1714be68.png" border="0">. Notez que l'intégrale est de la forme de la transformation de Mellin inverse.

Un autre cas intéressant relié à la théorie des nombres survient en prenant a_n=\Lambda(n)\, où \Lambda(n)\, est la fonction de von Mangoldt. Alors

\sum_{n\le \lambda} \left(1-\frac{n}{\lambda}\right)^\delta \Lambda(n) = - \frac{1}{2\pi i} \int_{c-i\infty}^{c+i\infty} \frac{\Gamma(1+\delta)\Gamma(s)}{\Gamma(1+\delta+s)} \frac{\zeta^\prime(s)}{\zeta(s)} \lambda^s ds = \frac{\lambda}{1+\delta} + \sum_\rho \frac {\Gamma(1+\delta)\Gamma(\rho)}{\Gamma(1+\delta+\rho)} +\sum_n c_n \lambda^{-n}

De nouveau, on doit prendre c><span class=1\," style="max-width : 98%; height: auto; width: auto;" src="/pictures/frwiki/49/135892b63f7b2009e71fd1b274ffba9e.png" border="0">. La somme sur \rho\, est la somme sur les zéros de la fonction zeta de Riemann, et \sum_n c_n \lambda^{-n}\, est convergent pour \lambda > <span class=1\," style="max-width : 98%; height: auto; width: auto;" src="/pictures/frwiki/102/faf3a6b51cb061636fd5f8dd1714be68.png" border="0">.

Les intégrales qui apparaissent ici sont similaires à l'intégrale de Nörlund-Rice ; très grossièrement, elles peuvent être reliées à cette intégrale par la formule de Perron.

Références

  1. ↑ M. Riesz, Comptes Rendus, 12 juin 1911
  2. ↑ G.H. Hardy and J.E. Littlewood, "Contributions to the Theory of the Riemann Zeta-Function and the Theory of the Distribution of Primes", Acta Mathematica, 41(1916) pp.119-196.
  • Portail des mathématiques Portail des mathématiques
Ce document provient de « Rapport de Riesz ».

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Rapport de Riesz de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Поможем написать реферат

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Rapport De Riesz — En mathématiques, le rapport de Riesz est un certain rapport d une série arithmétique. Ils ont été introduits par Marcel Riesz en 1911 comme une amélioration de la moyenne de Cesàro[1],[2]. Le rapport de Riesz ne doit pas être confondu avec le… …   Wikipédia en Français

  • Rapport de riesz — En mathématiques, le rapport de Riesz est un certain rapport d une série arithmétique. Ils ont été introduits par Marcel Riesz en 1911 comme une amélioration de la moyenne de Cesàro[1],[2]. Le rapport de Riesz ne doit pas être confondu avec le… …   Wikipédia en Français

  • Theoreme de representation de Riesz — Théorème de représentation de Riesz Il existe en analyse fonctionnelle plusieurs théorèmes nommés théorème de représentation de Riesz, en l honneur du mathématicien Frigyes Riesz. Sommaire 1 Le théorème de représentation de Riesz dans les espaces …   Wikipédia en Français

  • Théorème de Fréchet-Riesz — Théorème de représentation de Riesz Il existe en analyse fonctionnelle plusieurs théorèmes nommés théorème de représentation de Riesz, en l honneur du mathématicien Frigyes Riesz. Sommaire 1 Le théorème de représentation de Riesz dans les espaces …   Wikipédia en Français

  • Théorème de représentation de Riesz — Pour les articles homonymes, voir Théorème de Riesz. Il existe en analyse fonctionnelle plusieurs théorèmes nommés théorème de représentation de Riesz, en l honneur du mathématicien Frigyes Riesz. Sommaire 1 Le théorème de représentation de Riesz …   Wikipédia en Français

  • Théorème de représentation de riesz — Il existe en analyse fonctionnelle plusieurs théorèmes nommés théorème de représentation de Riesz, en l honneur du mathématicien Frigyes Riesz. Sommaire 1 Le théorème de représentation de Riesz dans les espaces de Hilbert 1.1 Énoncé 1.2 …   Wikipédia en Français

  • Théorème de F. et M. Riesz — Pour les articles homonymes, voir Théorème de Riesz. En mathématiques, le théorème de F. et M. Riesz est un résultat des deux frères Frigyes Riesz et Marcel Riesz sur les mesures analytiques, selon lequel pour une mesure complexe (en) μ sur… …   Wikipédia en Français

  • Theoreme de Riesz — Théorème de Riesz En mathématiques, et plus particulièrement en théorie des espaces vectoriels normés réels ou complexes, le théorème de Riesz établit un lien entre la notion de compacité, une propriété topologique, et celle de dimension, une… …   Wikipédia en Français

  • Théorème de riesz — En mathématiques, et plus particulièrement en théorie des espaces vectoriels normés réels ou complexes, le théorème de Riesz établit un lien entre la notion de compacité, une propriété topologique, et celle de dimension, une notion algébrique. Il …   Wikipédia en Français

  • Liste des articles de mathematiques — Projet:Mathématiques/Liste des articles de mathématiques Cette page recense les articles relatifs aux mathématiques, qui sont liés aux portails de mathématiques, géométrie ou probabilités et statistiques via l un des trois bandeaux suivants  …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
https://fr-academic.com/dic.nsf/frwiki/1411556 Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”