Quadri-impulsion

Quadri-impulsion

Quadri-moment

En relativité restreinte, le quadri-moment est une généralisation du moment linéaire tridimensionnel classique à un espace-temps à 4 dimensions. Le moment est un vecteur de l'espace (donc généralement à 3 dimensions); de la même manière, le quadri-moment est un quadrivecteur de l'espace-temps. Le quadri-moment covariant d'une particule avec un moment tridimensionnel \vec p = (p_x, p_y, p_z) et d'énergie E est


\begin{pmatrix}
p_0 \\ p_1 \\ p_2 \\ p_3 
\end{pmatrix} = 
\begin{pmatrix}
-E/c \\ p_x \\ p_y \\ p_z 
\end{pmatrix}

Le quadri-moment est souvent utilisé en calcul relativiste car il s'agit d'un vecteur de Lorentz. Cela permet de lui appliquer (relativement) facilement des Transformations de Lorentz.

Sommaire

Norme de Minkowski: p2

En calculant la norme de Minkowski d'un quadri-moment, on obtient un invariant de Lorentz égal (à un facteur égal à la vitesse de la lumière c près) au carré de la masse au repos de la particule:

- |p|^2 = - \eta^{\mu\nu} p_\mu p_\nu = {E^2 \over c^2} - |\vec p|^2 = m^2c^2

en utilisant la convention du système international d'unités:

\eta^{\mu\nu} = \begin{pmatrix}
-1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}

qui est l'inverse du tenseur métrique[1] en relativité restreinte. Puisque |p|^2\! est un invariant de Lorentz, sa valeur reste inchangée par transformations de Lorentz, c'est-à-dire par changement de référentiel.

Relation avec la quadrivitesse

Pour une particule dotée de masse, le quadri-moment est donné par la masse au repos fois la quadrivitesse:

p_\mu = m \, \eta_{\mu\nu} U^\nu\!

où la quadrivitesse est


\begin{pmatrix}
U^0 \\ U^1 \\ U^2 \\ U^3 
\end{pmatrix} = 
\begin{pmatrix}
\gamma \\ \gamma v^x \\ \gamma v^y \\ \gamma v^z 
\end{pmatrix}

et \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}} est le facteur de Lorentz et c est la vitesse de la lumière.

Conservation du quadri-moment

La conservation du quadri-moment dans un référentiel donné[2] implique deux lois de conservations pour des quantité dites classiques:

  1. La quantité totale d'énergie E = - p0 est invariante.
  2. Le moment linéaire classique tridimensionnel \vec p reste invariant.

On notera au passage que la masse d'un système de particules peut être supérieure à la somme des masses des particules au repos, à cause de l'énergie cinétique . Par exemple, prenons 2 particules de quadri-moment {-5 Gev, 4 Gev/c, 0, 0} et {-5 Gev, -4 Gev/c, 0, 0} ayant chacune une masse au repos de 3 Gev/c2 mais leur masse totale (soit encore la masse du système) est de 10 Gev/c2. Si ces 2 particules entrent en collision et fusionnent, la masse de l'objet ainsi formé est de 10 Gev/c2.

Une applicaton pratique en physique des particules de la conservation de la masse au repos permet, à partir des quadri-moments pA et pB de 2 particules créées par la désintégration d'une particule plus grosse ayant un quadri-moment q, de retrouver la masse de la particule initiale. La conservation du quadrimoment donne qμ = pAμ + pBμ, et la masse M de la particule initiale est donnée par -|q|2 = M2c2. En mesurant l'énergie et les 3-moments des particules résultantes, on peut calculer la masse au repos du système des 2 particules qui est égal à M. Cette technique est notamment utilisée dans les recherches expériementales sur le boson Z dans les accélérateur de particules.

Si la masse d'un objet ne change pas, le produit scalaire de Minkowski de son quadri-moment et de la quadri-accélération correspondante Aμ est nul. L'accélération est proportionnelle à la dérivée temporelle du moment divisée par la masse de la particule:

p_{\mu} A^{\mu} = p_{\mu} \frac{d}{dt} \frac{\eta^{\mu\nu} p_{\nu}}{m} = \frac{1}{2m} \frac{d}{dt} |p|^2 = \frac{1}{2m} \frac{d}{dt} (-m^2c^2) = 0 .

Moment canonique en présence d'un champ électromagnétique

Il est également utile de définir un moment "canonique" (à 4 dimensions), pour des applications en mécanique quantique relativiste: Pμ, qui est la somme du quadri-moment et du produit de la charge électrique avec le potentiel (qui est un vecteur à 4 dimensions):

 P_{\mu} = p_{\mu} + q A_{\mu} \!

où le 4-vecteur potentiel est une combinaison entre le potentiel scalaire et le potentiel vecteur du champ magnétique:


\begin{pmatrix}
A_0 \\ A_1 \\ A_2 \\ A_3 
\end{pmatrix} = 
\begin{pmatrix}
-\phi \\ A_x \\ A_y \\ A_z 
\end{pmatrix}

Voir aussi

Notes

  1. Le tenseur métrique est en fait défini à un signe près. On trouvera dans certains ouvrages la convention ημν = ( + , − , − , − ) au lieu de la convention ημν = ( − , + , + , + ) adoptée dans cet article. Les résultats physiques sont évidemment les mêmes quelle que soit la convention choisie, mais il faut prendre garde de ne pas les mélanger.
  2. La conservation du quadri-moment signifie que dans un référentiel donné, le quadri-moment total pν d'un système isolé est conservé. Lorsqu'on change de référentiel, le quadri-moment subit une transformation de Lorentz : p^\mu={\Lambda^\mu}_\nu p^\nu. Le nouveau quadri-moment pμ est à son tour conservé dans ce nouveau référentiel, mais n'est pas égal à pν.

References

  • (en) Rindler, Wolfgang, Introduction to Special Relativity (2nd), Oxford University Press, Oxford, 1991 
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