Puits quantique

Pour les articles homonymes, voir Puits.

Un puits quantique est une zone de l'espace dans laquelle le potentiel ressenti par une particule quantique atteint un minimum. Il s'agit d'un puits de potentiel dont les petites dimensions entraînent une différence entre les prédictions de la mécanique classique et celles de la mécanique quantique. L'équation de Schrödinger prévoit en effet que l'énergie de la particule évoluant dans un tel puits est quantifiée. L'étude de puits quantiques de forme variée (puits carré, puits harmonique, couplage entre deux puits voisins, ...) fait partie intégrante de l'apprentissage de la mécanique quantique^[1]^,^[2]^,^[3].

Un puits quantique désigne également une hétérostructure de semi-conducteurs qui est la plus proche réalisation pratique des puits de potentiel étudiés dans les cours de mécanique quantique. Dans ce cas, le puits quantique s'obtient en réduisant la dimension du solide dans une des directions de l'espace à une valeur proche de la longueur d'onde de Broglie de la particule (typiquement quelques dizaines de nanomètres). Le mouvement des électrons et des trous est alors confiné dans une direction de l'espace et libre dans les deux autres directions (confinement 1D). Le mouvement des porteurs dans la direction du confinement est discrétisé, donnant lieu à des bandes d'énergie.

Des puits quantiques peuvent parfois se former de manière « naturelle » dans certains matériaux artificiels, comme les cristaux inorganiques ou molécules organiques. Cependant, dans la très grande majorité des cas, ils sont obtenus par une structuration volontaire et très précise des matériaux utilisés à l'échelle nanométrique.

Un confinement 1D peut être obtenu avec un puits quantique, 2D avec un fil quantique, 3D avec une boîte quantique.

Sommaire

1 Puits de potentiel en mécanique quantique
2 Puits quantiques de semi-conducteur
3 Notes et références
4 Voir aussi
- 4.1 Articles connexes
- 4.2 Bibliographie

Puits de potentiel en mécanique quantique

L'étude des puits de potentiel en mécanique quantique est celle de l'équation de Schrödinger

$-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta \psi(\mathbf r, t) + V(\mathbf r) \psi(\mathbf r, t) = i \hbar \frac{ \partial }{\partial t}\psi(\mathbf r, t)$

pour différentes formes de la fonction $V (r)$ . Puisque le hamiltonien ne dépend pas explicitement du temps, on peut chercher des solutions sous la forme d'états stationnaires, c'est-à-dire pour lesquels la fonction d'onde s'écrit

$\psi(\mathbf r, t) = \psi(\mathbf r)e^{-i\frac E \hbar t}$

et $(ψ(r),E)$ sont solution du problème aux valeurs propres suivant (équation de Schrödinger indépendante du temps) :

$-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta \psi(\mathbf r) + V(\mathbf r) \psi(\mathbf r) = E \psi(\mathbf r).$

Si la particule n'est pas à l'instant initial dans un état stationnaire, sa fonction d'onde peut se décomposer sur la base des fonctions propres trouvées ci-dessus de manière à connaître l'évolution du système au cours du temps. On considère souvent un espace à une dimension : $V=V(x)$ , $ψ=ψ(x)$ .

Puits de potentiel harmonique

Article détaillé : Oscillateur harmonique quantique.

Dans ce cas, on a

$V(x) = \frac{1}{2}m\omega_0^2 x^2.$

Les énergies propres sont quantifiées :

$E_n = (n+1/2)\hbar \omega_0.$

La fonction d'onde de l'état fondamental est une gaussienne centrée en 0 et les états excités peuvent s'exprimer à partir des polynômes d'Hermite.

Puits de potentiel carré avec barrière infinie

Article détaillé : Particule dans une boîte.

Dans ce cas, on a

$V(x) = \begin{cases} -U_0, & \text{si }|x|<L/2\text{ (puits)} \\ \infty, & \text{si }|x|>L/2\text{ (barriere)} \end{cases}$

La deuxième ligne revient à dire que $ψ(x)=0$ en $x=\pmL/2$ . Les énergies propres sont quantifiées :

$E_{n}=-U_0+\frac{1}{2m}\left(\frac{n\pi\hbar}{L}\right)^2.$

Les fonctions propres sont des sinusoïdes :

$\psi_n(x) = \begin{cases} \sqrt \frac 2 L \cos \left[\frac{n\pi}{L}x\right], & \text{si }n\text{ est impair} \\ \sqrt \frac 2 L \sin \left[\frac{n\pi}{L}x\right], & \text{si }n\text{ est pair} \end{cases}$

Puits de potentiel carré avec barrière finie

Niveaux d'énergie d'un puits quantique de profondeur U₀ et de largeur L

Dans ce cas, on a

$V(x) = \begin{cases} -U_0, & \text{si }|x|<L/2\text{ (puits)} \\ 0, & \text{si }|x|>L/2\text{ (barriere)} \end{cases}$

Les énergies propres situées entre $-U 0$ et 0 sont quantifiées et il existe un continuum d'états d'énergies positives.

Puits quantiques de semi-conducteur

Dans les semi-conducteurs, un puits quantique peut s'obtenir par l'empilement successif de couches planes de différents matériaux, par exemple un matériau de petit gap entouré de chaque côté par un matériau de plus grand gap. Dans ce cas, les électrons voient un puits de potentiel carré avec une barrière de hauteur finie.

Puits de type I/II

Fabrication

Le développement des puits quantiques a grandement profité des progrès réalisé en croissance des matériaux et sont principalement fabriqués par épitaxie par jet moléculaire ou par dépôt chimique en phase vapeur. Dans ces techniques, un substrat cristallin plan est utilisé pour y déposer des couches de matériaux. En contrôlant les quantités relatives des espèces chimiques qui sont introduites dans le bâti de croissance, on peut former des alliages de divers matériaux. Le système de matériaux GaAs/AlAs et leurs alliages ont été particulièrement étudiés, car le paramètre de maille de GaAs n'est différent de celui de l'AlAs que de 0,14 %^[4], permettant une croissance d'alliages Al_xGa_1-xAs sans accumulation de contrainte et donc sans brisure. D'autre part, la croissance relativement lente permet un contrôle à la monocouche atomique près. En jouant sur la composition des matériaux, on peut créer des structures d'une très grande complexité, telles par exemple que les lasers à cascade quantique.

Rugosité des interfaces, croissance 2D ou 3D

Applications

Optoélectronique

LED
Diode laser
Laser à cascade quantique
Modulateur à électroabsorption
QWIPs

Électronique

HEMT pour les radiofréquences

Formalisme des fonctions enveloppe

Hamiltonien de Ben Daniel-Duke

Notes et références

↑ C. Cohen-Tannoudji, B. Diu et F. Laloë, Mécanique quantique [détail des éditions]
↑ J. L. Basdevant, J. Dalibard, Mécanique quantique [détail des éditions]
↑ Mécanique Quantique R.Feynman
↑ Le paramètre de maille vaut respectivement 0,566139 Å et 0,565359 Å pour AlAs et GaAs. (en) Landolt-Börnstein Substance/Property Index, vol. III/41A1 : Group IV elements, IV-IV and III-V compounds, O. Madelung, coll. « Landolt-Bornstein », 2002

Voir aussi

Bibliographie

(en) Gérald Bastard, Wave mechanics applied to semiconductor heterostructures, Les éditions de physique, coll. « Monographies de physique », 1988, 327 p. (ISBN 2-86883-092-7).
Ouvrage de référence sur l'application de la méthode k.p aux hétérostructures, niveau 3^e cycle universitaire. Les approximations réalisées ainsi que leurs conséquences sont explicitées de manière pédagogique. Principalement consacré aux puits et aux superréseaux AlGaInAs. Un peu daté.
Emmanuel Rosencher, Borge Vinter, Optoélectronique, Masson, 1997, 558 p. (ISBN 2-225-82935-7).
Ouvrage expliquant les principes physiques utilisés pour la conception des composants optoélectroniques. Le chapitre 8 est consacré aux hétérostructures et aux puits quantiques.

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