Puits de potentiel semi-classique

Puits de potentiel semi-classique

Soit une particule de masse m , sur un axe x'Ox, soumise à une force d'énergie potentielle V(x), en « cuvette ». L'équation classique du mouvement entre les deux points « tournants » x1(E) et x2(E) tels que V(x) = E a été étudiée dans l'article puits de potentiel.

Le mouvement est périodique de période T(E), l'orbite dans l'espace des phases(x,p) est fermée, et parcourue dans le sens négatif avec cette période. Elle enclôt une aire homogène à une action A(E), dont la dérivée est T(E).

En mécanique dite semi-classique , on considère que les actions sont des multiples entiers de la constante de Planck h , soit A(E) = n h , mais on est bien conscient que le niveau le plus bas d'énergie doit correspondre à celui de l'oscillateur harmonique « osculateur », donc on écrit plutôt :

A(E) = (n-1/2) h , n entier positif

(remarque : il est indifférent évidemment d'écrire n+1/2, avec n entier; le 1/2 est difficile à justifier, sans étude analytique précise dans le plan complexe des points tournants. Cf le livre de Sommerfeld).

Cette formule définit en gros le spectre d'énergie des états liés de la cuvette, E(n).

On examinera les cuvettes étudiées précédemment.

Cela permettra ensuite , par « prolongement analytique », d'étudier facilement les barrières de potentiel et l'effet tunnel.


Sommaire

Oscillateur harmonique

la cuvette est du type V(x) = 1/2 k x²

On trouve aisément que les niveaux sont :

 E_n = [n + \frac{1}{2}] \hbar \omega_0 , n entier (positif ou nul), 

puisque A(E)= T°.E ; le niveau fondamental  E_0 = [0 + \frac{1}{2}] \hbar \omega_0 pouvant se calculer joliment par une astuce sur les inégalités d'Heisenberg (cf saturation des inégalités d'Heisenberg).

Chute libre et rebond

Ce cas a été étudié dans diagramme horaire, sous le nom de cuvette de Torricelli. Le point matériel, de masse m, tombe sous l'action de la pesanteur g, d'une hauteur H et rebondit élastiquement au sol avec la vitesse V° = sqrt(2gH) (formule dite de Torricelli).

L'orbite périodique, d'énergie E, dans l'espace des phases s'en déduit immédiatement: c'est la portion z>0 de la parabole : mv = +/- m.sqrt[ 2g.(H-z)] , dont l'aire A(E) est donnée par l'antique formule d'Archimède: A(E) = 2/3. mV°.H.2, soit A(E)~E^(3/2). Immédiatement, on en tire le spectre d'énergie:

En = n2 / 3E1

avec E_1 = \frac{3}{4\sqrt(2)} (h^2mg^2)^{1/3} ,

dont on vérifie aisément l'homogénéité.

Pour le calcul du niveau fondamental, on effectuera le raisonnement simpliste habituel : E = Ec + Ep minimale soit :

-h^2/mH^3 + mg = 0 , soit Eo ~ E1 (inutile en semi-classique d'essayer de pousser plus avant : le calcul correct sera fait en Quantique)

Puits infini

L'orbite de phase du puits infini est vraiment la plus simple de toute : c'est un rectangle de largeur a et de quantité de mouvement +/- sqrt(2mE) , d'où l'aire A(E) = 2sqrt(2).sqrt(mEa²). On en déduit immédiatement le spectre :

En = n2E1,

avec E_1 = \frac{\hbar^2}{2ma^2}\pi^2,

ce qui est par hasard la formule EXACTE de la Quantique.

Puits fini

Cette fois, pour un puits de profondeur E°, la mécanique semi-classique est impuissante à résoudre le phénomène suivant : les niveaux d'énergie se rapprochent quand on monte en énergie. Le problème se résout parfaitement en Quantique.

Ici, pour faire simple, nous indiquerons la suggestion de Gamow : la particule est évanescente sur une distance d(E) =~ sqrt( h²/2m(E°-E) et il faut donc prendre comme largeur du puits non pas a , mais a +2d(E). Ceci redonne qualitativement l'allure du spectre; quantitativement si on se laisse semi-empiriquement la latitude du coefficient numérique devant d(E), de manière à avoir le même nombre (fini) de niveaux d'énergie dans le puits, l'accord n'est pas si mauvais. Inutile encore une fois de poursuivre plus avant.

Puits type Ep = 1/k A.|x|^k

On vient de traiter k = 2 , k = 1 et k = \infty.

On généralise aisément le théorème d'Archimède sur la quadrature de la parabole : l'action A(E) vaut :

A(E) = 2 mV°.H.k/(k+1)~ sqrt(E).E^(1/k), d'où le spectre :

E_n = n^{\frac{2k}{2+k}} E_1,avec E1 = Ck(A2h2k / mk)1 / (2 + k),

dont on peut vérifier l'homogénéité. On retrouve bien les cas k = 2 ,1, infini.

Des considérations à partir du théorème du viriel sont possibles aussi pour ces cas.

Dans le cas où les puits sont finis, on pourra appliquer la règle de Gamow , ce qui redonne en gros, le nombre fini de niveaux d'énergie N(E°).

Remarque importante :

on peut être tenté de généraliser au cas de k négatifs : la formule précédente montre qu'il faut être prudent avec k = - 2 (force en 1/x^3);

Atome d'hydrogène: mais il se trouve qu'elle donne le bon résultat pour k= -1 :

E_n = - \frac {1}{n^2}E_1 

avec E1 = 13.6eV , cela peut être retenu comme moyen mnémotechnique, pour les états ns de l'atome d'hydrogène (là encore, on peut consulter l'article saturation des inégalités d'Heisenberg). Par contre, on n'a aucun moyen ici pour retrouver la dégénérescence 2n^2 de l'atome-3D.

Ainsi, l'étude semi-classique permet de trouver d'importantes relation entre spectre En et potentiel Ep(x). Réciproquement, peut-on à partir du spectre discret remonter à Ep(x). C'est le très célèbre problème de Mac Kac : peut-on entendre la forme d'un tambour? Ce problème a été traité dans le cas classique (cf puits de potentiel). Mais il est beaucoup plus ardu en Quantique, et en semi-classique.

Notes et références de l'article

Voir aussi

Articles connexes


Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Puits de potentiel semi-classique de Wikipédia en français (auteurs)

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Puits de potentiel — Pour les articles homonymes, voir Puits. Puits de potentiel unidimensionnel Un puits de potentiel désigne, en physique, le voisinage d un minimum local d é …   Wikipédia en Français

  • Puits quantique — Pour les articles homonymes, voir Puits. Un puits quantique est une zone de l espace dans laquelle le potentiel ressenti par une particule quantique atteint un minimum. Il s agit d un puits de potentiel dont les petites dimensions entraînent une… …   Wikipédia en Français

  • Barriere de potentiel — Barrière de potentiel Le terme barrière de potentiel permet de désigner de façon intuitive les effets cinétiques que subit un objet mécanique de la part des forces auxquelles il est soumis. Notamment, dans le cas des forces répulsives son… …   Wikipédia en Français

  • Barrière De Potentiel — Le terme barrière de potentiel permet de désigner de façon intuitive les effets cinétiques que subit un objet mécanique de la part des forces auxquelles il est soumis. Notamment, dans le cas des forces répulsives son mouvement peut être entravé,… …   Wikipédia en Français

  • Barrière de potentiel — Le terme barrière de potentiel permet de désigner de façon intuitive les effets cinétiques que subit un objet mécanique de la part des forces auxquelles il est soumis. Notamment, dans le cas des forces répulsives son mouvement peut être entravé,… …   Wikipédia en Français

  • Saturation des inegalites d'Heisenberg — Saturation des inégalités d Heisenberg Le principe d incertitude est lié à un théorème d inégalité. L inégalité d Heisenberg est dite saturée quand il y a égalité. Il est souvent intéressant d étudier l état | ψ > pour lequel cette saturation… …   Wikipédia en Français

  • Saturation des inégalités d'Heisenberg — Le principe d incertitude d Heisenberg en mécanique quantique est lié à un théorème d inégalité. Cette inégalité est dite saturée quand il y a égalité. Quand cette saturation est vérifiée, l état | ψ > est souvent intéressant à étudier :… …   Wikipédia en Français

  • Saturation des inégalités d'heisenberg — Le principe d incertitude est lié à un théorème d inégalité. L inégalité d Heisenberg est dite saturée quand il y a égalité. Il est souvent intéressant d étudier l état | ψ > pour lequel cette saturation est vérifiée: si , alors au mieux  …   Wikipédia en Français

  • Effet Tunnel — Pour les articles homonymes, voir Tunnel (homonymie). Cet article fait partie de la série Mécanique quantique …   Wikipédia en Français

  • Effet saute-mouton — Effet tunnel Pour les articles homonymes, voir Tunnel (homonymie). Cet article fait partie de la série Mécanique quantique …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”